正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5437

题目大意

nnn个点的完全图，连接i,ji,ji,j的边权值为(i+j)k(i+j)^k(i+j)k。随机选出一个生成树，求期望边权和。

1≤n<998244353,1≤k≤1071\leq n<998244353,1\leq k\leq 10^71≤n<998244353,1≤k≤107

解题思路

一条边选出来的概率是2n\frac{2}{n}n2（总共有2n(n−1)\frac{2}{n(n-1)}n(n−1)2条，选n−1n-1n−1条，或者PruferPruferPrufer序列也能证明）

所以现在考虑怎么求
∑i=1n∑j=1n(i+j)k\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(i+j)^ki=1∑nj=1∑n(i+j)k
这个东西首先f(n)=∑i=1n∑j=1ni+jf(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ni+jf(n)=∑i=1n∑j=1ni+j是一个二项式，所以(i+j)k(i+j)^k(i+j)k就是一个k+2k+2k+2次多项式，所以可以考虑用拉插。

现在是如何快速求出1∼k1\sim k1∼k的值，考虑递推
f(n)−f(n−1)=∑i=1n∑j=1n(i+j)k−∑i=1n−1∑j=1n−1(i+j)kf(n)-f(n-1)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(i+j)^k-\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-1}(i+j)^kf(n)−f(n−1)=i=1∑nj=1∑n(i+j)k−i=1∑n−1j=1∑n−1(i+j)k
=∑i=n+12n−1ik=\sum_{i=n+1}^{2n-1}i^k=i=n+1∑2n−1ik

然后用线性筛预处理出iki^kik就好了。当然拉插也要用线性的优化

时间复杂度O(n)O(n)O(n)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e7+10,P=998244353;
ll n,k,cnt,pri[N/5],w[N<<1],y[N];
ll pre[N],suf[N],inv[N],ans;
bool v[N<<1];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
void Prime(int n){w[1]=1;for(ll i=2;i<=n;i++){if(!v[i])pri[++cnt]=i,w[i]=power(i,k);for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;j++){v[i*pri[j]]=1;w[i*pri[j]]=w[i]*w[pri[j]]%P;if(i%pri[j]==0)break;}}return;
}
signed main()
{scanf("%lld%lld",&n,&k);Prime(k*2+6);k+=3;pre[0]=suf[k+1]=inv[1]=1;y[2]=w[3];for(ll i=3;i<=k;i++)y[i]=(y[i-1]+w[i*2-1]+w[i*2-2]-w[i])%P;for(ll i=1;i<=k;i++)y[i]=(y[i-1]+y[i])%P;for(ll i=1;i<=k;i++)pre[i]=pre[i-1]*(n-i)%P;for(ll i=k;i>=1;i--)suf[i]=suf[i+1]*(n-i)%P;for(ll i=2;i<=k;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;inv[0]=1;for(ll i=1;i<=k;i++)inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;for(ll i=1;i<=k;i++)(ans+=pre[i-1]*suf[i+1]%P*inv[i-1]%P*inv[k-i]%P*y[i]%P*(((k-i)&1)?-1:1))%=P;printf("%lld\n",(ans+P)%P*power(n,P-2)%P*2%P);return 0;
}

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