拉格朗日差值法python实现

Lagrange插值法：Lagrange插值法：Lagrange插值法：给定一组点(x1,y1),(x2,y2)...(xn,yn)给定一组点 (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})...(x_{n},y_{n})给定一组点(x1,y1),(x2,y2)...(xn,yn)n次拉格朗日插值基函数Pi(x)=∏j=1,j≠inx−xjxi−xjn次拉格朗日插值基函数 \ \ P_{i}(x)=\prod_{j=1,j\neq i}^{n}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x{j}}n次拉格朗日插值基函数 Pi(x)=j=1,j=i∏nxi−xjx−xj拉格朗日插值多项式Ln(x)=∑i=1nyiPi拉格朗日插值多项式\ \ L_{n}(x)=\sum_{i=1}^{n}y_{i}P_{i}拉格朗日插值多项式 Ln(x)=i=1∑nyiPi
举个例子：假如我们只有三个点, 那么
L2(x)=(x−x1)(x−x2)(x0−x1)(x0−x2)y0+(x−x0)(x−x2)(x1−x0)(x1−x2)y1+(x−x0)(x−x1)(x2−x0)(x2−x1)y2L_{2}(x)=\frac{(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})}y_{0}+\frac{(x-x_{0})(x-x_{2})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})}y_{1}+\frac{(x-x_{0})(x-x_{1})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})}y_{2}L2(x)=(x0−x1)(x0−x2)(x−x1)(x−x2)y0+(x1−x0)(x1−x2)(x−x0)(x−x2)y1+(x2−x0)(x2−x1)(x−x0)(x−x1)y2
python 实现
方法一：

from scipy.interpolate import lagrange
x = [1,3,5]
y = [2,10,1]
print(lagrange(x, y))  #拟合曲线
print(lagrange(x, y)(10))  #估值

结果：

        2
-2.125 x + 12.5 x - 8.375
-95.875

方法二：

x = [1, 3, 5]
y = [2, 10, 1]
def lagrange_Interpolation(x1):P = []L_n = 0for i in range(len(x)):numerator=1  #分子初始化denominator=1  #分母初始化for j in range(len(x)):if j!=i:numerator*=(x1-x[j])denominator*=(x[i]-x[j])P.append(numerator/denominator)for i in range(len(y)):L_n+=y[i]*P[i]return round(L_n,3)  #保留3位小数
print(lagrange_Interpolation(10))

结果：

-95.875

看拟合曲线图像：

import numpy
import matplotlib
from matplotlib import pyplot
x2=numpy.linspace(-10,10,20,endpoint=False) #从-10到10 20个点去拟合曲线
print(x2)
y2=[]
for i in range(len(x2)):y2.append(lagrange_Interpolation(x2[i]))
print(y2)pyplot.plot(x2,y2)
pyplot.scatter(x,y, marker=".")
pyplot.show()

结果：

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