正题

题目链接:https://loj.ac/p/6039

题目大意

有nnn个物品，第iii个费用为wiw_iwi，价值为viv_ivi，对于k∈[1,m]k\in[1,m]k∈[1,m]求费用为mmm时能获得的最大价值。

1≤n≤106,1≤m≤5×104,1≤wi≤300,1≤vi≤1091\leq n\leq 10^6,1\leq m\leq 5\times 10^4,1\leq w_i\leq 300,1\leq v_i\leq 10^91≤n≤106,1≤m≤5×104,1≤wi≤300,1≤vi≤109

解题思路

好早以前写的不过不知道为啥错了，现在来补个新的。

wiw_iwi很小，考虑以其为突破口，显然地我们可以把wiw_iwi相同的按照viv_ivi从大到小排序，那么对于每个wiw_iwi，我们就可以选择若干个。

设fi,jf_{i,j}fi,j表示做到w=iw=iw=i时费用为jjj的最大价值和，那么有
fi,j=fi−1,j−ki+si,zf_{i,j}=f_{i-1,j-ki}+s_{i,z}fi,j=fi−1,j−ki+si,z
（si,zs_{i,z}si,z表示w=iw=iw=i的物品中前zzz大的价值和）

这个式子很难用常规的优化，但是可以用四边形不等式。至于证明，我们有wi,j=sj−iw_{i,j}=s_{j-i}wi,j=sj−i
要证明
wi,j+wi+1,j+1≥wi,j+1+wi+1,jw_{i,j}+w_{i+1,j+1}\geq w_{i,j+1}+w_{i+1,j}wi,j+wi+1,j+1≥wi,j+1+wi+1,j
sj−i+sj−i≥sj−i+1+sj−i−1s_{j-i}+s_{j-i}\geq s_{j-i+1}+s_{j-i-1}sj−i+sj−i≥sj−i+1+sj−i−1
然后因为si+1−sis_{i+1}-s_{i}si+1−si是递减的，所以成立。

那么我们现在对于每个枚举的w=iw=iw=i，把所有的ik+j(j∈[0,i))ik+j(\ j\in[0,i)\ )ik+j( j∈[0,i) )都分成一组。

然后对于每一组我们都用四边形不等式优化，不过我忘了优化的方法了，还是记一下吧：

对于所有的可能的决策我们用一个单调队列记录，顺带记录ziz_izi表示队列里第iii个决策和第i+1i+1i+1个决策的交叉点（在ziz_izi之前qiq_{i}qi更优，ziz_izi以之后qi+1q_{i+1}qi+1更优）。

然后每次弹出队列前面的来找答案，加入的时候我们就二分出队尾和新加入的决策交换点，然后一直弹尾部直到不交叉。

时间复杂度：O(mwlog⁡m)O(mw\log m)O(mwlogm)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=5e4+10;
ll n,m,g,f[2][N],q[N],z[N];
vector<ll> w[310];
bool cmp(ll x,ll y)
{return x>y;}
ll calc(ll i,ll j,ll p,ll k)
{return f[!g][i*p+k]+w[p][j-i-1];}
ll bound(ll i,ll j,ll p,ll k){ll l=i+1,r=(m-k)/p;while(l<=r){ll mid=(l+r)>>1;if(calc(i,mid,p,k)<calc(j,mid,p,k))l=mid+1;else r=mid-1;}return l;
}
signed main()
{freopen("jewelry.in","r",stdin);freopen("jewelry.out","w",stdout); scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1,c,v;i<=n;i++){scanf("%lld%lld",&c,&v);w[c].push_back(v);}g=0;for(ll p=1;p<=300;p++){if(w[p].empty())continue;g^=1;memcpy(f[g],f[!g],sizeof(f[g]));
//      memset(f[g],0,sizeof(f[g]));sort(w[p].begin(),w[p].end(),cmp);while(w[p].size()<=m/p)w[p].push_back(0);for(ll i=1;i<w[p].size();i++)w[p][i]+=w[p][i-1];for(ll k=0;k<p;k++){ll head=1,tail=0;for(ll i=0;i*p+k<=m;i++){while(head<tail&&z[head]<=i)head++;if(head<=tail)f[g][i*p+k]=max(f[g][i*p+k],calc(q[head],i,p,k));while(head<tail&&z[tail-1]>=bound(i,q[tail],p,k))tail--;z[tail]=bound(i,q[tail],p,k);q[++tail]=i;}}}for(ll i=1;i<=m;i++)printf("%lld ",f[g][i]);return 0;
}

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