根据旋转矩阵及绕各个轴旋转的角速度，推导机体角速度

旋转矩阵

旋转矩阵还不清楚的同学去看我的另一篇博客，这里咱们废话不多说，旋转矩阵已知

欧拉角

大家一定要记住欧拉角是有顺序的！！！这是咱们推导出机体角速度的关键
这里按照比较常用的顺序，先绕ZZZ轴旋转q6q_6q6度，再绕YYY轴旋转q5q_5q5度，最后绕XXX轴旋转q4q_4q4度

推导机体角速度

机体旋转角速率为：
ωb=[ωxb,ωyb,ωzb]T\omega _b=[\omega _{x_b},\omega_{y_b},\omega_{z_b}]^Tωb=[ωxb,ωyb,ωzb]T
列向量中的三个元素分别是角速度绕XXX轴旋转的分量、绕YYY轴旋转的分量、绕ZZZ轴旋转的分量

重点来了：
如果此时物体仅仅绕Z轴发生了一次旋转那么毫无疑问，角速率表达式如下：
[ωxbωybωzb]=[00q6˙]\begin{bmatrix} \omega_{x_b} \\ \omega_{y_b} \\ \omega_{z_b} \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot{q_6} \\ \end{bmatrix} ⎣⎡ωxbωybωzb⎦⎤=⎣⎡00q6˙⎦⎤
但是旋转不同于平动，旋转一定有顺序，所以当机体先绕ZZZ轴旋转，后绕YYY轴旋转时，此时绕ZZZ轴旋转的角度也发生了改变，改变多少可以通过旋转矩阵获得，所以此时，角速率的表达式如下：
[ωxbωybωzb]=R5⋅[00q6˙]+[0q5˙0]\begin{bmatrix} \omega_{x_b} \\ \omega_{y_b} \\ \omega_{z_b} \\ \end{bmatrix}=R_5\cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot{q_6} \\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 \\ \dot{q_5} \\ 0 \\ \end{bmatrix} ⎣⎡ωxbωybωzb⎦⎤=R5⋅⎣⎡00q6˙⎦⎤+⎣⎡0q5˙0⎦⎤
其中R5R_5R5是机体绕YYY轴旋转q5q_5q5度的旋转矩阵，表达式如下：
R5=[cos⁡q50−sin⁡q5010sin⁡q50cos⁡q5]R_5= \begin{bmatrix} \cos q_5 & 0 & -\sin q_5 \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin q_5 & 0 & \cos q_5\\ \end{bmatrix} R5=⎣⎡cosq50sinq5010−sinq50cosq5⎦⎤
同理，在此基础上再进行最后一步旋转，即绕XXX轴旋转q4q_4q4度，机体角速率的表达式如下：
[ωxbωybωzb]=R4⋅R5⋅[00q6˙]+R4⋅[0q5˙0]+[q4˙00]\begin{bmatrix} \omega_{x_b} \\ \omega_{y_b} \\ \omega_{z_b} \\ \end{bmatrix}=R_4\cdot R_5\cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot{q_6} \\ \end{bmatrix}+R_4\cdot \begin{bmatrix} 0 \\ \dot{q_5} \\ 0 \\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \dot{q_4} \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} ⎣⎡ωxbωybωzb⎦⎤=R4⋅R5⋅⎣⎡00q6˙⎦⎤+R4⋅⎣⎡0q5˙0⎦⎤+⎣⎡q4˙00⎦⎤
其中R4R_4R4是机体绕XXX轴旋转q4q_4q4度的旋转矩阵，表达式如下：
R4=[1000cos⁡q4sin⁡q40−sin⁡q4cos⁡q4]R_4= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos q_4 & \sin q_4 \\ 0 & -\sin q_4 & \cos q_4\\ \end{bmatrix} R4=⎣⎡1000cosq4−sinq40sinq4cosq4⎦⎤
由机体角速率一般表达式继续推导
R4⋅R5⋅[00q6˙]=[00−sin⁡q500sin⁡q4⋅cos⁡q500cos⁡q4⋅cos⁡q5]⋅[00q6˙]=A⋅BR_4\cdot R_5\cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot{q_6} \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 0 & -\sin q_5 \\ 0 & 0 & \sin q_4\cdot \cos q_5 \\ 0 & 0 & \cos q_4\cdot \cos q_5\\ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot{q_6}\\ \end{bmatrix}= A\cdot B R4⋅R5⋅⎣⎡00q6˙⎦⎤=⎣⎡000000−sinq5sinq4⋅cosq5cosq4⋅cosq5⎦⎤⋅⎣⎡00q6˙⎦⎤=A⋅B
R4⋅[0q5˙0]=[0000cos⁡q400−sin⁡q40]⋅[0q5˙0]=M⋅NR_4\cdot \begin{bmatrix} 0 \\ \dot{q_5} \\ 0\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos q_4 & 0 \\ 0 & -\sin q_4 & 0 \\ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 0 \\ \dot{q_5} \\ 0\\ \end{bmatrix}=M\cdot N R4⋅⎣⎡0q5˙0⎦⎤=⎣⎡0000cosq4−sinq4000⎦⎤⋅⎣⎡0q5˙0⎦⎤=M⋅N
[q4˙00]=[100000000]⋅[q4˙00]=P⋅Q\begin{bmatrix} \dot{q_4} \\ 0 \\ 0\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} \dot{q_4} \\ 0 \\ 0\\ \end{bmatrix}=P\cdot Q ⎣⎡q4˙00⎦⎤=⎣⎡100000000⎦⎤⋅⎣⎡q4˙00⎦⎤=P⋅Q
由上述矩阵形态可以发现(A+M+P)⋅(B+N+Q)=A⋅B+M⋅N+P⋅Q(A+M+P)\cdot (B+N+Q)=A\cdot B+M\cdot N+P\cdot Q(A+M+P)⋅(B+N+Q)=A⋅B+M⋅N+P⋅Q其他项均等于000
所以机体角速率的最终表达式如下：
[ωxbωybωzb]=(A⋅B+M⋅N+P⋅Q)=(A+M+P)⋅(B+N+Q)\begin{bmatrix} \omega_{x_b} \\ \omega_{y_b} \\ \omega_{z_b} \\ \end{bmatrix}=(A\cdot B+M\cdot N+P\cdot Q)=(A+M+P)\cdot (B+N+Q) ⎣⎡ωxbωybωzb⎦⎤=(A⋅B+M⋅N+P⋅Q)=(A+M+P)⋅(B+N+Q)
[ωxbωybωzb]=[10−sin⁡q50cos⁡q4sin⁡q4⋅cos⁡q50−sin⁡q4cos⁡q4⋅cos⁡q5]⋅[q4˙q5˙q6˙]\begin{bmatrix} \omega_{x_b} \\ \omega_{y_b} \\ \omega_{z_b} \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & -\sin q_5 \\ 0 & \cos q_4 & \sin q_4\cdot\cos q_5 \\ 0 & -\sin q_4 & \cos q_4\cdot\cos q_5 \\ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} \dot{q_4} \\ \dot{q_5} \\ \dot{q_6} \\ \end{bmatrix} ⎣⎡ωxbωybωzb⎦⎤=⎣⎡1000cosq4−sinq4−sinq5sinq4⋅cosq5cosq4⋅cosq5⎦⎤⋅⎣⎡q4˙q5˙q6˙⎦⎤

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