引入

在一些有 NNN 个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。

举个例子：
设初始有若干元素：1,2,3,4,5,6,7,8
元素之间有若干关系：1_3,24,5_6,35,7_8,48
关系合并过程：
初始 {1},{2},{3},{4},{5},{6},{7},{8}
1~3：{1,3},{2},{4},{5},{6},{7},{8}
2~4：{1,3},{2,4},{5},{6},{7},{8}
5~6：{1,3},{2,4},{5,6},{7},{8}
3~5：{1,3,5,6},{2,4},{7},{8}
7~8：{1,3,5,6},{2,4},{7,8}
4~8：{1,3,5,6},{2,4,7,8}

概念

并查集是一种表示不相交集合的数据结构，用于处理不相交集合的合并与查询问题。在不相交集合中，每个集合通过代表来区分，代表是集合中的某个成员，能够起到唯一标识该集合的作用。一般来说，选择哪一个元素作为代表是无关紧要的，关键是在进行查找操作时，得到的答案是一致的(通常把并查集数据结构构造成树形结构，根节点即为代表)。
在不相交集合上，需要经常进行如下操作:

findSet(x): 查找元素 x 属于哪个集合，如果 x 属于某一集合，则返回该集合的代表。
unionSet(x，y): 如果元素 x 和元素 y 分别属于不同的集合，则将两个集合合并，否则不做操作

并查集的实现方法是使用有根树来表示集合——树中的每个结点都表示集合的一个元素，每棵树表示一个集合，每棵树的根结点作为该集合的代表。

并查集基础操作

初始化

现共有 NNN 个元素，对这 NNN 个元素要进行查询与合并操作，现进行初始化；例如 N=10N = 10N=10，初始化方法如下， father[iii] 为 iii 的父结点编号，初始化时结点的父结点为本身，即自己代表自己，建立 NNN 个独立集合：

void Make_Set(int n) {for (int i = 1; i <= n; i++)father[i] = i;
}

查询

查询操作是递归查询，在查询某个结点在哪一个集合中时，需沿着其父结点，递归向上，因所属集合代表指向的仍然是其本身，所以可以以 father[x]==xfather[x] == xfather[x]==x 作为递归查询出口。

int Find_Set(int x) {if (father[x] == x) return x;else return Find_Set(father[x]);
}

合并

在进行集合的合并时，只需将两个集合的代表进行连接即可，即一个代表作为另一个代表的父结点。

void Union_Set(int x, int y) {father[Find_Set(x)] = Find_Set(y);
}

优化

路径压缩

最简单的并查集效率是比较低的。
如果继续进行类似的合并，能会形成一条长长的链，随着链越来越长，我们想要从底部找到根结点会变得越来越难。怎么解决呢？

路径压缩：对于一个集合中的结点，只需要关心它的根结点是谁，不必知道各结点之间的关系(对树的形态不关心)，希望每个元素到根结点的路径尽可能短，最好只需要一步，极大地提高了查询效率。

路径压缩需要在查询操作时，把沿途的每个结点的父节点都设为根结点即可。下一次再查询时，就可以节约很多时间。

int Find_Set(int x) {if (father[x] == x) return x;else return father[x] = Find_Set(father[x]);
}

按秩合并(启发式合并)

由于路径压缩只在查询时进行，每次查询也只压缩一条路径，所以并查集最终的结构仍然可能是比较复杂。

这启发我们：应该把深度低的树往深度高的树上合并，用 rankrankrank 数组记录根结点对应树的深度(如果不是根节点，其 rankrankrank 相当于以它作为根节点的子树的深度)。一开始，把所有元素的 rankrankrank（秩）设为1。合并时比较两个根结点，把 rankrankrank 较小者往较大者上合并。

void Make_Set(int n) {for (int i = 1; i <= n; i++)father[i] = i, rank[i] = 1;
}
void Union_Set(int x, int y) {int a = Find_Set(x), b = Find_Set(y);if (a == b) return;if (rank[a] <= rank[b]) father[a] = b;else father[b] = a;if (rank[a] == rank[b]) rank[b]++;
}

例题

亲戚(relation)

这是一道并查集的题目，我们首先将所有人的父节点设为自己，如果一对父子的父节点不相同则调用并集函数，在查找时，如果两者父节点相同证明他们两是亲戚，否则不是。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Maxn = 2e4 + 5;
int n, m, p, a, b, fa[Maxn], Rank[Maxn];
void Make_Set(){for(int i = 0;i <= n; ++i) fa[i] = i, Rank[i] = 1;return ;
}
int Find_Set(int s) {return fa[s] == s ? s : (fa[s] = Find_Set(fa[s]));
}
void Union_Set(int s, int e){int a = Find_Set(s), b = Find_Set(e);if(a == b) return;if(Rank[a] >= Rank[b]) fa[b] = a;else fa[a] = b;if(Rank[a] == Rank[b]) Rank[a] ++;
}
bool Pd_Set(int s, int e){return Find_Set(s) == Find_Set(e);
}
int main(){scanf("%d %d", &n, &m);Make_Set();for(int i = 1; i <= m; i++) {scanf("%d %d", &a, &b);Union_Set(a, b);}scanf("%d", &p);for(int i = 1; i <= p; i++) {scanf("%d %d", &a, &b);puts(Pd_Set(a, b) ? "Yes" : "No");}return 0;
}

银河英雄传说
一条链也是一棵树，只不过是树的特殊形态。因此可以把每一列战舰看作一个集合，用并查集维护。最初，NNN 个战舰构成 NNN 个独立的集合。
在没有路径压缩的情况下，fa[x]fa[x]fa[x] 就表示排在第 xxx 号战舰前面的那个战舰的编号。一个集合的代表就是位于最前边的那艘战舰。另外，让树上每条边权值为 1，这样树上两点之间的距离 −1-1−1 就是二者之间间隔的战舰数量。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Max = 3e4 + 5;
int t, a, b;
int fa[Max], dis[Max], size[Max];
char c;
int Find_Set(int x){if (fa[x] == x)return x;int k = fa[x];fa[x] = Find_Set(fa[x]);dis[x] += dis[k];size[x] = size[fa[x]];return fa[x];
}
void Make_Set(){for(int i = 1; i <= Max - 5; i++)fa[i] = i, size[i] = 1;
}
void Union_Set(int s, int e){int a = Find_Set(s), b = Find_Set(e);fa[a] = b;dis[a] += size[b];size[a] += size[b];size[b] = size[a];
}
int main(){scanf("%d", &t);Make_Set();while(t--){scanf("\n%c", &c);scanf("%d %d", &a, &b);if(c == 'M')Union_Set(a, b);else{if (Find_Set(a) == Find_Set(b))printf("%d\n", abs(dis[a] - dis[b]) - 1);elseputs("-1");}}return 0;
}

食物链
如前面还没有真话，那么无法判断的话就是真话。如果严格按照 A吃B，B吃C，C吃A，把集合划分成 ABC 三类，假设2 1 3是真话，那么到底把 1、3 分别归到A、B还是B、C还是C、A呢，我们无法判断。所以这里我们可以把1分成 1、1+n、1+2n1、1+n、1+2n1、1+n、1+2n 分别放到 ABC 三个集合中，再来判断正确性。

#include<cstring>
#include<cstdio>
const int Max = 150005;
int fa[Max], a, b, c;
int n, m;
void Make_Set(){for(int i = 0; i <= 3 * n; i++) fa[i] = i;return ;
}
int Find_Set(int s) {return fa[s] == s ? s : (fa[s] = Find_Set(fa[s]));
}
void Union_Set(int x,int y){int t1 = Find_Set(x);int t2 = Find_Set(y);if(t1 != t2)fa[t1] = t2;
}
int main(){scanf("%d %d", &n, &m);Make_Set();int ans = 0;for(int i = 0; i < m; i++){scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);int x = b - 1;int y = c - 1;if(x < 0 || x >= n || y < 0 || y >= n){ans++;continue;}if(a == 1){if(Find_Set(x) == Find_Set(y + n) || Find_Set(x) == Find_Set(y + 2 * n))ans++;else{Union_Set(x, y);Union_Set(x + n, y + n);Union_Set(x + 2 * n, y + 2 * n);}}else if(a == 2){if(Find_Set(x) == Find_Set(y) || Find_Set(x) == Find_Set(y + 2 * n))ans++;else{Union_Set(x, y + n);Union_Set(x + n, y + 2 * n);Union_Set(x + 2 * n, y);}}}printf("%d", ans);return 0;
}

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