旋转矩阵

点和向量、坐标系

刚体是指在运动中和受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点的相对位置不变的物体。

• 刚体，不光有位置，还有自身的姿态。
• 相机可以看作三维空间中的刚体，于是，位置是指相机在空间中的哪个地方，而姿态是指相机的朝向。

  向量的内积： 对于a,b∈R3\ a,b∈R^3 a,b∈R3，内积为：a⋅b=aTb=Σi=13aibi=∣a∣∣b∣cos(a,b)a·b=a^Tb=\Sigma_{i=1}^3{a_ib_i}=|a||b|cos(a,b)a⋅b=aTb=Σi=13​ai​bi​=∣a∣∣b∣cos(a,b)
  内积描述了向量间的投影关系。

  向量的外积：
  上式中，第一个等号后面为行列式，第三个等号后面的式子，把向量a写成矩阵的形式。

  向量的外积，仍是一个向量，外积的方向垂直于这两个向量，大小为∣a∣∣b∣sina(a,b)\ |a||b|sina(a,b) ∣a∣∣b∣sina(a,b)，是两个向量张成的四边形的有向面积。

  引入了 ⋀\ ^{\bigwedge } ⋀ 符号，把 a\ a a 写成一个矩阵，⋀\ ^{\bigwedge } ⋀ 是反对称符号，a⋀\ a^{\bigwedge } a⋀ 是一个3×3反对称矩阵。 向量b\ b b 是3×1的矩阵，所以，它们可以写成相乘的形式。即：

  把向量的外积a×b\ a{\times }b a×b写成矩阵与向量的乘法a⋀b\ a^{\bigwedge }b a⋀b。

  外积只对三维向量存在定义，用外积表示向量的旋转。

  为什么外积可以表示旋转呢？

  两个不平行的向量a，b\ a，b a，b，从a\ a a到b\ b b如何进行旋转，在右手法则下，用右手的4个指头从a\ a a转向b\ b b，大拇指朝向就是旋转向量的方向，事实上也是a×b\ a×b a×b的方向。 通过这种方式，构造了从a\ a a到b\ b b的一个旋转向量。
   所以，a×b\ a×b a×b这个外积可以表示向量从a\ a a到b\ b b的旋转。

坐标系间的欧式变换

坐标系之间的变换由一个旋转和一个平移两部分组成。

欧式变换： 同一个向量在各个坐标系下的长度和夹角都不会发生变化的变换。

设某个单位正交基 (e1,e2,e3)\ (e_1,e_2,e_3) (e1​,e2​,e3​)经过一次旋转，变成了 (e1′,e2′​,e3′)\ (e_1^{′},e_2^{′}​,e_3^{′}) (e1′​,e2′​​,e3′​)。对于同一个向量 a\ a a（注意该向量并没有随着坐标系的旋转而发生运动），它在两个坐标系下的坐标为[a1,a2,a3]T\ [a_1,a_2,a_3]^T [a1​,a2​,a3​]T 和[a1′,a2′,a3′]T\ [a_1^{′},a_2^{′},a_3^{′}]^T [a1′​,a2′​,a3′​]T。根据坐标的定义，有：

 两边同时左乘[e1Te2Te3T]\ \left[ \begin{matrix} e_1^{T} \\ e_2^{T}\\ e_3^{T} \end{matrix} \right] ⎣⎡​e1T​e2T​e3T​​⎦⎤​,左边的系数就变成单位矩阵，所以
 R\ R R被称为旋转矩阵：旋转矩阵由两组基之间的内积组成，刻画了旋转前后同一个向量的坐标变换关系。

旋转矩阵的性质：

1. 行列式为1
2. 正交阵
3. 对于同一个旋转变化，对应唯一的旋转矩阵
4. 旋转矩阵的充要条件：行列式为 1 的正交矩阵
5. 集合定义：SO(n)={R∈Rn×n∣RRT=I,det(R)=1}.\ SO(n)=\{R∈R^{n×n}|RR^T=I,det(R)=1\}. SO(n)={R∈Rn×n∣RRT=I,det(R)=1}.

旋转矩阵为正交阵，它的逆（即转置）描述了一个相反的旋转：
      世界坐标系中的向量a\ a a，经过一次旋转和一次平移后，得到a′\ a^{′} a′，设旋转矩阵为 R\ R R，平移向量为 t\ t t ，则

变换矩阵与齐次坐标

齐次坐标： 射影几何里的概念，把一个三维向量的末尾添加 1，变成了四维向量，称为齐次坐标。

变换矩阵T\ T T：4 × 4矩阵，左上角是 3 × 3 旋转矩阵 R\ R R，下面是3 × 1零向量，右面是1 × 3平移向量t\ t t ，右下角是1。

在齐次坐标中，某个点x\ x x 的每个分量同乘一个非零常数k\ k k 后，仍然表示的是同一个点。

因此，一个点的具体坐标值不是唯一的。 当最后一项不为零时，我们总可以把所有坐标除以最后一项，强制最后一项为 1，从而得到一个点唯一的坐标表示。忽略掉最后一项，这个点的坐标和欧氏空间就是一样：
  依靠齐次坐标和变换矩阵，两次变换的累加就可以有很好的形式：
  变换矩阵T\ T T具有特别的结果：左上角为旋转矩阵，右侧为平移向量，左下角为 0 向量，右下角为 1。这种矩阵又称为特殊欧式群。

变换矩阵的逆，表示反向变换：

旋转向量和欧拉角

旋转向量

矩阵表示的缺点： 旋转矩阵有9个量，但只有3个自由度；变换矩阵由16个量，但只有6个自由度，表达冗余，浪费空间。

任意旋转都可以用一个旋转轴和一个旋转角来刻画。
  旋转向量（或轴角）： 方向与旋转轴一致，长度等于旋转角的向量。
  旋转向量有3个量和3个自由度，使用一个旋转向量和一个平移向量即可表达一次变换。

旋转向量和旋转矩阵的转换：
    1. 旋转向量==>旋转矩阵：罗德里格斯公式
      设旋转轴向量（单位向量）n\ n n ，旋转角为θ\ θ θ ，则旋转向量为θn\ θn θn，罗德里格斯公式如下：
    2. 旋转矩阵==>旋转向量，公式如下：

   转轴 n\ n n 是矩阵 R\ R R 特征值 1 对应的特征向量，旋转轴经过旋转之后不变。

欧拉角

欧拉角使用了三个分离的转角，把一个旋转分解成三次绕不同轴的旋转。
  欧拉角常使用“偏航-俯仰-滚转”（yaw-pitch-roll），等价于 ZYX\ ZYX ZYX 轴的旋转。使用 [r,p,y]T\ [r,p,y]^T [r,p,y]T 这样一个三维的向量描述任意旋转，注意是先y\ y y，再p\ p p，再r\ r r 。

欧拉角的万向锁问题：在俯仰角为±90◦\ ±90^◦ ±90◦时，第一次旋转与第三次旋转将使用同一个轴，使得系统丢失了一个自由度（由三次旋转变成了两次旋转），也被称为奇异性问题。

欧拉角的万向锁就是指，有两种方式可以到达相同的旋转效果。一种是绕三个轴各旋转一次，另一种就是绕两个轴各旋转一次，都能从相同的初始姿态到达，最后相同的姿态。

在旋转过程中，数据会有误差存在，比如测定的旋转为90◦\ 90^◦ 90◦，而实际旋转了91◦\ 91^◦ 91◦.

这里的旋转是按自身本体的坐标系进行旋转，即：当旋转体本身在旋转时，按照自身来建立坐标系，根据自身坐标系的x\ x x轴（或y\ y y轴，或z\ z z轴）进行一次旋转，在旋转之后，再按照当前位置，自身坐标系绕的y\ y y轴（或z\ z z轴，或y\ y y轴）进行一次旋转，在旋转之后，再按照当前位置，自身坐标系绕的z\ z z轴（或x\ x x轴，或x\ x x轴）进行一次旋转。

理论上可以证明，只要我们想用三个实数来表达三维旋转时，都会不可避免地碰到奇异性问题。
  由于奇异性问题，欧拉角不适于插值和迭代，往往只用于人机交互中，也很少出现在slam中。

四元数

四元数的定义

没有不带奇异性的三维向量描述方式（旋转向量、欧拉角……）
  四元数是扩展的复数，由一个实部和三个虚部构成，它是紧凑的，没有歧义性

    虚部满足如下关系式：

  四元数还可以表示成如下表达式：
      s\ s s 称为四元数的实部，而v\ v v 称为它的虚部。如果一个四元数虚部为 0，称之为实四元数。反之，若它的实部为 0，称之为虚四元数。

用单位四元数表示三维空间中任意一个旋转。设某个旋转是绕单位向量 n=[nx,ny,nz]T\ n=[nx,ny,nz]^T n=[nx,ny,nz]T进行了角度为 θ\ θ θ 的旋转，那么这个旋转的四元数形式为：
      θ\ θ θ 加上2π\ 2π 2π，得到一个相同的旋转，但此时对应的四元数变成了−q\ -q −q。
  在四元数中， 任意的旋转都可以由两个互为相反数的四元数表示。
  取 θ\ θ θ 为0\ 0 0，则得到一个没有任何旋转的实四元数：q0=[±1,0,0,0]Tq_0=[\pm1,0,0,0]^Tq0​=[±1,0,0,0]T

四元数的运算

四元数和负数一样，可进行一系列运算，如：四则运算、数乘、求逆、共轭。

设两个四元数为qa,qb\ q_a,q_b qa​,qb​，它们的向量表示为[sa,va],[sb,vb]\ [s_a,v_a],[s_b,v_b] [sa​,va​],[sb​,vb​]，或原始四元数表示为：qa=sa+xai+yaj+zak，qb=sb+xbi+ybj+zbkq_a=s_a+x_ai+y_aj+z_ak，q_b=s_b+x_bi+y_bj+z_bkqa​=sa​+xa​i+ya​j+za​k，qb​=sb​+xb​i+yb​j+zb​k

1. 加减法：
   
2. 乘法：把qa\ q_a qa​的每一项与qb\ q_b qb​相乘，最后相加，按照实部和虚部分别整理

        用向量和内外积形式表示：

        在乘法定义下，两个实数的四元数乘积仍是实的，这与负数也是一致的。

注意四元数乘法是不可交换的，除非 va\ v_a va​​ 和 vb\ v_b vb​​ 在R3\ R^3 R3 中共线，此时外积项为零。

1. 共轭：把虚部取成相反数

        四元数共轭与其本身相乘，得到一个实四元数，其实部为模长的平方：

1. 模长 ：各个部系数平方和开根号
           两个四元数乘积的模等于模的乘积，对于单位四元数，则意味着单位四元数乘积仍为单位四元数：
   
2. 逆：
   
           四元数和自己的逆的乘积为实四元数1\ 1 1：
   
           如果q\ q q为单位四元数，其逆和共轭就是同一个量。

   乘积取逆等于交换顺序取逆的乘积：
   

3. 数乘和点乘：
           与向量相似，四元数可以与数相乘：
   
           点乘是指，两个四元数每个位置上的数值分别相乘：
   

用四元数表示旋转

假设一个三维空间的点p=[x,y,z]∈R3\ p=[x,y,z]∈R^3 p=[x,y,z]∈R3，以及一个由轴角n,θ\ n,θ n,θ指定的旋转。三维点p\ p p经过旋转之后变成 p′\ p^{′} p′
  用矩阵描述，则有p′=Rp\ p^{′}=Rp p′=Rp
  把这个三维空间的点用虚四元数描述：

  相当于把四元数的3个虚部与空间中的3个轴相对应。
  用四元数q\ q q表示这个旋转：

  则旋转后的向量为：p′=qpq−1\ p^′=qpq^{−1} p′=qpq−1
  计算结果的实部仍然为0，故为纯虚四元数。其虚部的3个分量表示旋转后3D\ 3D 3D点的坐标。

四元数到旋转矩阵的转换

四元数==>旋转矩阵： 设四元数q=q0+q1i+q2j+q3k\ q=q_0+q_1i+q_2j+q_3k q=q0​+q1​i+q2​j+q3​k ，对应的旋转矩阵为：

  旋转矩阵==>四元数： 设矩阵为 R=mij,i,j∈[1,2,3]\ R={m_{ij}},i,j∈[1,2,3] R=mij​,i,j∈[1,2,3]，则对应的四元数为：

  由于q\ q q和−q\ -q −q表示同一个旋转，一个 R\ R R 对应的四元数表示并不唯一。

相似、仿射、射影变换

• （a）相似变换： 圆被影像为圆，方砖被影像为正方形。形状不变，只改变了图像的大小。
• （b）仿射变换： 圆被影像为椭圆，方砖被影像为平行四边形。平行不变性，在仿射变换之后，虽然原来的图形变样了，但原来平行的直线，仍然是平行的。
• （c）射影变换： 平行世界的线被影像为聚线。近大远小，离摄像机近的方砖的图像比远的大。直线不变性，射影变换之后，原来的直线，仍然还是直线。

相似变换

相似变换比欧氏变换多了一个自由度，它允许物体进行均匀的缩放，其矩阵如下：

  s\ s s称为缩放因子，表示在对向量旋转之后，可以在 x,y,z\ x,y,z x,y,z 三个坐标上进行均匀的缩放。
  由于含有缩放，相似变换后不再保持图形的面积不变。

仿射变换

仿射变换也称正交投影，变换矩阵如下:

  仿射变换只要求 A 是一个可逆矩阵，而不必是正交矩阵。
  经过仿射变换之后，立方体就不再是方的了，但是各个面仍然是平行四边形。

射影变换

摄影变换是最一般的变换，变换矩阵为：

  左上角为可逆矩阵A\ A A，右上角为平移t\ t t ，左下角为缩放$ a^T$。

采用齐次坐标，当 v\ v v≠0 时，对整个矩阵除以v\ v v 得到一个右下角为1的矩阵，否则得到右下角为0的矩阵。

2D\ 2D 2D 的射影变换一共有 8 个自由度，3D\ 3D 3D 则共有 15 个自由度。

参考：https://blog.csdn.net/weixin_40883049/article/details/86567439#311__3
          https://blog.csdn.net/qq_35604674/article/details/88606959

高博14讲--第三讲 三维空间刚体运动相关推荐

1. 高博14讲--第七讲 视觉里程计-7.3 2D-2D:对极几何

   高博14讲--第七讲 视觉里程计-7.3 2D-2D:对极几何 基本问题 对极约束 对极约束推导过程 本质矩阵 八点法 八点法推导过程 本质矩阵$\ E$的SVD分解 单目SLAM的一些问题 尺度不确 ...

2. 高博14讲：第七讲中g20报错

   高博14讲:第七讲中g20 3d3d 3d2d 报错的改动 原因:g2o版本更新引起的错误修改 3d3d报错: /home/yk/桌面/slambook-master/ch7/pose_estimat ...

3. SLAM系列——第三讲 三维空间刚体运动[2023.1]

   系列文章目录 SLAM系列--第一讲 预备知识[2023.1] SLAM系列--第二讲 初识SLAM[2023.1] SLAM系列--第三讲 三维空间刚体运动[2023.1] SLAM系列--第四讲 ...

4. 【视觉SLAM十四讲】第三讲 三维空间刚体运动

   点与坐标系 右手系, 内积(点乘) 外积(叉乘) |a||b|sin<a,b> a×b = -b×a 坐标系的变换 原点间的平移 三个轴的旋转 旋转矩阵 R为旋转矩阵 R是一个正交矩阵(R ...

5. slam14讲 |二、三维空间刚体运动

   文章目录 参考资料 1. 旋转矩阵 1.1 内积.外积 1.2 坐标变换 1.2.1 旋转 1.2.2 平移 1.2.3 变换矩阵与齐次坐标 2. 旋转向量和欧拉角 2.1 旋转向量 2.2 欧拉角 ...

6. 高博SLAM十四讲书本程序学习——第3讲 三维空间刚体运动

   小白高博SLAM十四讲书本程序学习_1 第3讲 三维空间刚体运动 在高博原始注释上,针对我自己不明白的部分,做额外注释 如果有错误的地方,请大家指点指点 博文目录 一.P.48 eigenMatrix ...

7. 视觉SLAM十四讲 第3讲 三维空间刚体运动（相关知识点汇总）

   视觉SLAM十四讲 第3讲 三维空间刚体运动 1. 刚体 2. 欧氏空间(euclidean space) 2.1 欧氏距离: 2.2 欧氏变换: 3. 笛卡尔坐标系 4. 透视空间 5. 齐次坐标系 ...

8. 视觉SLAM十四讲：第3讲 三维空间刚体运动

   第3讲:三维空间刚体运动 三维空间中刚体运动的描述方式:旋转矩阵.变换矩阵.四元数和欧拉角 3.1 旋转矩阵 3.1.1 点和向量,坐标系 三维空间中,给定线性空间基(e1,e2,e3)(\mathb ...

9. 三维空间刚体运动4-1：四元数表示旋转（各形式相互转换加代码）

   三维空间刚体运动4-1:四元数表示变换(各形式相互转换加代码) 1. 四元数的定义 1.1 为什么使用四元数 1.2 复数与四元数 1.3 四元数的形式 2. 四元数的运算 2.1 基础运算 2.2 ...

最新文章

1. Linux下两个进程可以同时打开同一个文件，这时如下描述错误的是：
2. make menuconfig错误
3. oracle control file文件 详解
4. 云服务器共享文件如何访问权限,怎么设置共享文件夹访问权限？
5. 279. Perfect Squares
6. 腾讯云Ubuntu20.04配置Jupyter notebook
7. Android MVP 实例
8. 32位汇编第五讲,逆向实战干货,(OD)快速定位扫雷内存.
9. HttpClient下载图片实例
10. 新兴新能源设施[1]--盐穴压缩空气储能相关配套设施
11. GitHub Android 最火开源项目Top20
12. 高德地图中缩放级别(zoom)和比例尺(getScalePerPixel)之间的计算关系
13. python办公自动化价值是什么意思_用python进行办公自动化都需要学习什么知识呢？...
14. 服务器系统记事本乱码,win7系统记事本出现乱码的五种解决方法
15. 《硬件架构的艺术》读书笔记：Chapter 1 亚稳态的世界
16. 海思HI3559A SDK文档说明
17. Python 当前时间是那一年第几周的周几
18. postman 搭建mock-server
19. android系统流畅度排行,最流畅安卓手机排名：华为mate40Pro第六，第一堪比iOS！...
20. 吉林大学计算机保研到,吉林大学 保研到清北

热门文章

1. 世界上最大的国家——互联网国
2. Photoshop CC 2019快速选择工具的抠图
3. 【干货】好看小视频去水印软件使用介绍
4. codeforces 848E. Days of Floral Colours
5. ps还原上一步快捷键_ps还原上一步快捷键_photoshop恢复上一步操作的快捷键是什么...
6. 撼龙图怎么开鸿蒙炁灵,【一人之下】新手入门必看攻略，萌新技巧超详细攻略...
7. 10年老师傅总结的CAD绘图命令，让你的工资从3000到1W！
8. java 容器都有哪些？
9. 计算机计算器logo,电脑计算器在哪打开
10. C#用easy-mvc开发的后台管理系统