按：计算机组成课程第四周作业

算法证明

图表 1       浮点数的表示

浮点数的表示如上图所示，我们要做的是将按如上方式存储的两个浮点数相乘，将其结果用如上的方式表示。

符号位只是两者的异或，指数位基本上是两指数的相加，而尾数位就需要在正常的乘法之余考虑到移位(和随之而来的指数为的溢出)和进位的情况。

下面就来讨论一下尾数的运算：

在尾数前补上1，进行无符号数乘法。小数点仅作为算法分析时的记号，实际上不参加运算。用64位的long long类型的数来存储运算结果。

图表 2       尾数相乘(用“画图”程序画的)

如上图所示，后46个数字是结果的小数点后的数据，小数点的的问号处可能只有1，可能是1X(10或11，在算法中没有太大区别)。若问号处只有1，说明已经规格化完成；若是1X，需要将整个数右移一位，质数加一，从而使问号处只有1。

规格化后要进行round操作，如下图所示。如果第23位是0，这一位之前的23位就是所需要的尾数。如果第23位是1，截取这位之前的数，加一(类似于四舍五入)。判断结果是否仍规格化。若没有规格化，从规格化开始继续做，直到找到规格化后的23位尾数。

图表 3       有效数处理(用“画图”程序画的)

程序框图

主要流程如下图所示。在代码注释中的Step1到step5即分别对应流程图中的1至5部分。有所不同的是，因为后面只会增加exponent而不会减少，所以我的程序在step1就判断是否overflow，在step3也判断是否overflow就行了，规格化完成后再判断underflow。

图表 4       浮点乘法程序框图

使用方法

输入两个数，程序用自带的scanf将其作为单精度浮点数读入。通过一系列的无符号数的计算，得到用单精度浮点数表示的结果，将其输出(为了更详细地看到整个数，输出的数小数点后有20位)。如果overflow或underflow，输出的是相应的提示。为了验证计算是否正确，在输出的数据后面有个括号，里面放了是直接让机器进行的单精度浮点数的乘法的结果。

特殊处理

特殊输入数据

有些输入的数据是在太大或太小，以至于数据本身就已经overflow或underflow，从而根本无法存贮到单精度浮点数中，不是合法的单精度浮点数。对于这样的数，我们不应该对其提供任何服务，不然只会闹出笑话。

对于零要特殊处理，因为0在浮点数中的表示并不是按照一般的规范来的。

溢出

这里的溢出指的是乘数和被乘数本身是合法的单精度浮点数，但相乘后造成了溢出。

因为后面只会增加exponent而不会减少，所以与上面的流程图不同，我的程序在step1就判断是否overflow，在step3也判断是否overflow就行了，规格化完成后再判断underflow。

数位扩展

整个程序都是按照单精度的浮点数来写的，数位扩展可能有点麻烦。如果要扩展为双精度的，需要更改代码中的大量参数。鉴于浮点数一般也就只有单精度和双精度两种，我觉得不是太必要提高做成可扩展的。

实例分析

图表 5       大数的乘法

图表 6       overflow

图表 7       underflow(本程序判为underflow，而C语言自己的浮点数乘法计算结果为0.000000)

图表 8       对0的乘法

图表 9       很大的与很小的正数相乘

图表 10     观察精确度

图表 11     对负数乘法的测试

图表 12     对于无法用浮点数表示的输入数据

图表 13     对于过小的数据

结果分析

我们对过于大的数据和过于小的数据，以及精度太大的数据都做了试验。从上述结果可以看到，这个程序的结果与C程序自带的浮点数乘法结果基本吻合。说明这个程序还是比较可靠的。

通过对精度的测试，我们发现浮点数虽然能表示较大较小的数据，但有效数字还是有限的。如-100与0.6相乘的结果，整数部分60是对的，小数点五位后就出现了偏差。一连串8与1相乘，结果的头部只有7个8。可以大致地认为浮点数的表示与计算的十进制有效数位是7位。

可以更进一步的工作

l  程序中对于无符号整数的加法、乘法，对于exponent的有符号整数运算都是直接使用的，其实可以调用之前写的相关程序，做成更加本质的浮点数乘法。

Source Code

#include

union unionfloat{

float f;

unsigned long l;

};

union unionfloat x,y,product;

/*

disp(union unionfloat x)

{

long i;

unsigned long m;

printf("%f:",x.f);

m=0x80000000;

for(i=0; i<32; i++){

if((i&7)==0)printf(" ");

if(m&x.l)printf("1");

else printf("0");

m>>=1;

}

printf("\n");

}*/

int mul(void){

//Step 1

int exponent;

exponent=(x.l&0x7F800000)>>23;

exponent-=0x7F;

exponent+=(y.l&0x7F800000)>>23;

exponent-=0x7F;

if(exponent>=128) return 1;

//Step 2

unsigned long long raw_product;

unsigned long long raw_x=x.l&0x007FFFFF|0x00800000;

unsigned long long raw_y=y.l&0x007FFFFF|0x00800000;

int carry;

raw_product = raw_x * raw_y;

/*int i=64;

unsigned long long p=0x8000000000000000;

while(i--){

if(i%4==3)printf(" ");

if(raw_product&p)printf("1");

else printf("0");

p=p>>1;

}

printf("\n");*/

//相乘结果若小数点前有两位

do{

//Step 3

if(raw_product>>47){

raw_product = raw_product>>1;

exponent++;

if(exponent>=128) return 1;//printf("Overflow");

}

//Step 4

if(raw_product & 0x0000000000400000){

raw_product = ((raw_product>>23)+1)<<23;

}

}while(raw_product>>47);//still normalized?

//Step 5

product.l = ((x.l>>31)^(y.l>>31))<<31;

if(exponent<=-127)return -1;//printf("Underflow");

//-127

product.l = product.l | ((unsigned long)(exponent+127))<<23;

product.l = product.l|((unsigned long)((raw_product&0x00003FFFFF800000)>>23));

//disp(product);

printf("%.20f(%.20f)\n",product.f,x.f*y.f);

return 0;

}

int main(void){

while(~scanf("%f%f",&x.f,&y.f)){

//printf("Input %.10f %.10f\n",x.f,y.f);

//disp(x);disp(y);

if(x.l==0||y.l==0)

printf("%f(%f)\n",0,x.f*y.f);

else if((((x.l>>23)&0x000000FF)==0) || (((x.l>>23)&0x000000FF)==0x000000FF))

printf("The first number is unavailable\n");

else if((((y.l>>23)&0x000000FF)==0) || (((y.l>>23)&0x000000FF)==0x000000FF))

printf("The second number is unavailable\n");

else{

switch(mul()){

case 1:printf("Overflow(%f)\n",x.f*y.f);break;

case -1:printf("Underflow(%f)\n",x.f*y.f);break;

default:break;

}

}

}

return 0;

}