谈谈RNN的梯度消失/爆炸问题

尽管 Transformer 类的模型已经攻占了 NLP 的多数领域，但诸如 LSTM、GRU 之类的 RNN 模型依然在某些场景下有它的独特价值，所以 RNN 依然是值得我们好好学习的模型。而于 RNN 梯度的相关分析，则是一个从优化角度思考分析模型的优秀例子，值得大家仔细琢磨理解。君不见，诸如“LSTM 为什么能解决梯度消失/爆炸”等问题依然是目前流行的面试题之一。

▲经典的LSTM

关于此类问题，已有不少网友做出过回答，然而笔者查找了一些文章（包括知乎上的部分回答、专栏以及经典的英文博客），发现没有找到比较好的答案：有些推导记号本身就混乱不堪，有些论述过程没有突出重点，整体而言感觉不够清晰自洽。为此，笔者也尝试给出自己的理解，供大家参考。

RNN及其梯度

RNN 的统一定义为：

其中是每一步的输出，它由当前输入和前一时刻输出共同决定，而则是可训练参数。在做最基本的分析时，我们可以假设都是一维的，这可以让我们获得最直观的理解，并且其结果对高维情形仍有参考价值。之所以要考虑梯度，是因为我们目前主流的优化器还是梯度下降及其变种，因此要求我们定义的模型有一个比较合理的梯度。我们可以求得：

可以看到，其实 RNN 的梯度也是一个 RNN，当前时刻梯度是前一时刻梯度与当前运算梯度的函数。同时，从上式我们就可以看出，其实梯度消失或者梯度爆炸现象几乎是必然存在的：

当时，意味着历史的梯度信息是衰减的，因此步数多了梯度必然消失（好比）；当，因为这历史的梯度信息逐步增强，因此步数多了梯度必然爆炸（好比）。总不可能一直吧？当然，也有可能有些时刻大于 1，有些时刻小于 1，最终稳定在 1 附近，但这样概率很小，需要很精巧地设计模型才行。

所以步数多了，梯度消失或爆炸几乎都是不可避免的，我们只能对于有限的步数去缓解这个问题。

消失还是爆炸？

说到这里，我们还没说清楚一个问题：什么是 RNN 的梯度消失/爆炸？梯度爆炸好理解，就是梯度数值发散，甚至慢慢就 NaN 了；那梯度消失就是梯度变成零吗？并不是，我们刚刚说梯度消失是一直小于 1，历史梯度不断衰减，但不意味着总的梯度就为 0 了，具体来说，一直迭代下去，我们有：

显然，其实只要不为 0，那么总梯度为 0 的概率其实是很小的；但是一直迭代下去的话，那么这一项前面的稀疏就是 t-1 项的连乘，如果它们的绝对值都小于 1，那么结果就会趋于 0，这样一来，几乎就没有包含最初的梯度的信息了。

这才是 RNN 中梯度消失的含义：距离当前时间步越长，那么其反馈的梯度信号越不显著，最后可能完全没有起作用，这就意味着 RNN 对长距离语义的捕捉能力失效了。

说白了，你优化过程都跟长距离的反馈没关系，怎么能保证学习出来的模型能有效捕捉长距离呢？

几个数学公式

上面的文字都是一般性的分析，接下来我们具体 RNN 具体分析。不过在此之前，我们需要回顾几条数学公式，后面的推导中我们将多次运用到这几条公式：

其中是 sigmoid 函数。这几条公式其实就是说了这么一件事：和 基本上是等价的，它们的导数均可以用它们自身来表示。

简单RNN分析

首先登场的是比较原始的简单 RNN（有时候我们确实直接称它为 SimpleRNN），它的公式为：

其中 W,U,b 是待优化参数。看到这里很自然就能提出第一个疑问：为什么激活函数用而不是更流行的？这是个好问题，我们很快就会回答它。

从上面的讨论中我们已经知道，梯度消失还是爆炸主要取决于，所以我们计算：

由于我们无法确定 U 的范围，因此可能小于 1 也可能大于 1，梯度消失/爆炸的风险是存在的。但有意思的是，如果 |U| 很大，那么相应地就会很接近 1 或 -1，这样反而会小，事实上可以严格证明：如果固定，那么作为 U 的函数是有界的，也就是说不管 U 等于什么，它都不超过一个固定的常数。

这样一来，我们就能回答为什么激活函数要用了，因为激活函数用后，对应的梯度是有界的，虽然这个界未必是 1，但一个有界的量不超过 1 的概率总高于无界的量，因此梯度爆炸的风险更低。相比之下，如果用激活的话，它在正半轴的导数恒为 1，此时是无界的，梯度爆炸风险更高。

所以，RNN 用 而不是 的主要目的就是缓解梯度爆炸风险。当然，这个缓解是相对的，用了依然有爆炸的可能性。事实上，处理梯度爆炸的最根本方法是参数裁剪或梯度裁剪，说白了，就是我人为地把 U 给裁剪到 [-1,1] 内，那不就可以保证梯度不爆了吗？

当然，又有读者会问，既然裁剪可以解决问题，那么是不是可以用了？确实是这样子，配合良好的初始化方法和参数/梯度裁剪方案，版的 RNN 也可以训练好，但是我们还是愿意用，这还是因为它对应的有界，要裁剪也不用裁剪得太厉害，模型的拟合能力可能会更好。

LSTM的结果

当然，裁剪的方式虽然也能 work，但终究是无奈之举，况且裁剪也只能解决梯度爆炸问题，解决不了梯度消失，如果能从模型设计上解决这个问题，那么自然是最好的。传说中的 LSTM 就是这样的一种设计，真相是否如此？我们马上来分析一下。

LSTM 的更新公式比较复杂，它是：

我们可以像上面一样计算，但从可以看出分析就等价于分析，而计算显得更加简单一些，因此我们往这个方向走。

同样地，我们先只关心 1 维的情形，这时候根据求导公式，我们有：

右端第一项，也就是我们所说的“遗忘门”，从下面的论述我们可以知道一般情况下其余三项都是次要项，因此是“主项”，由于在 0～1 之间，因此就意味着梯度爆炸的风险将会很小，至于会不会梯度消失，取决于是否接近于 1。

但非常碰巧的是，这里有个相当自洽的结论：如果我们的任务比较依赖于历史信息，那么 就会接近于 1，这时候历史的梯度信息也正好不容易消失；如果 很接近于 0，那么就说明我们的任务不依赖于历史信息，这时候就算梯度消失也无妨了。

所以，现在的关键就是看“其余三项都是次要项”这个结论能否成立。后面的三项都是“一项乘以另一项的偏导”的形式，而且求偏导的项都是或激活，前面在回顾数学公式的时候说了和基本上是等价的，因此后面三项是类似的，分析了其中一项就相当于分析了其余两项。以第二项为例，代入，可以算得：

注意到，都是在 0～1 之间，也可以证明，因此它也在 - 1～1 之间。所以说白了就相当于 1 个乘上 4 个门，结果会变得更加小，所以只要初始化不是很糟糕，那么它都会被压缩得相当小，因此占不到主导作用。

跟简单 RNN 的梯度（6）相比，它也多出了 3 个门，说直观一点那就是：1 个门我压不垮你，多来几个门还不行么？

剩下两项的结论也是类似的：

所以，后面三项的梯度带有更多的“门”，一般而言乘起来后会被压缩的更厉害，因此占主导的项还是，在 0～1 之间这个特性决定了它梯度爆炸的风险很小，同时表明了模型对历史信息的依赖性，也正好是历史梯度的保留程度，两者相互自洽，所以 LSTM 也能较好地缓解梯度消失问题。

因此，LSTM 同时较好地缓解了梯度消失/爆炸问题，现在我们训练 LSTM 时，多数情况下只需要直接调用 Adam 等自适应学习率优化器，不需要人为对梯度做什么调整了。

当然，这些结果都是“概论”，你非要构造一个会梯度消失/爆炸的 LSTM 来，那也是能构造出来的。此外，就算 LSTM 能缓解这两个问题，也是在一定步数内，如果你的序列很长，比如几千上万步，那么该消失的还会消失。毕竟单靠一个向量，也缓存不了那么多信息啊～

顺便看看GRU

在文章结束之前，我们顺便对 LSTM 的强力竞争对手 GRU 也做一个分析。GRU 的运算过程为：

还有个更极端的版本是将合成一个：

不管是哪一个，我们发现它在算的时候，都是先乘个变成，不知道读者是否困惑过这一点？直接用不是更简洁更符合直觉吗？

首先我们观察到，而一般全零初始化，则因为激活，因此结果必然在 -1～1 之间，所以作为与的加权平均的也一直保持在 -1～1 之间，因此本身就有类似门的作用。这跟LSTM的不一样，理论上是有可能发散的。了解到这一点后，我们再去求导：

其实结果跟 LSTM 的类似，主导项应该是，但剩下的项比 LSTM 对应的项少了 1 个门，因此它们的量级可能更大，相对于 LSTM 的梯度其实更不稳定，特别是这步操作，虽然给最后一项引入了多一个门，但也同时引入了多一项，是好是歹很难说。总体相对而言，感觉 GRU 应该会更不稳定，比 LSTM 更依赖于好的初始化方式。

针对上述分析结果，个人认为如果沿用 GRU 的思想，又需要简化 LSTM 并且保持 LSTM 对梯度的友好性，更好的做法是把放到最后：

当然，这样需要多缓存一个变量，带来额外的显存消耗了。

文章总结概述

本文讨论了 RNN 的梯度消失/爆炸问题，主要是从梯度函数的有界性、门控数目的多少来较为明确地讨论 RNN、LSTM、GRU 等模型的梯度流情况，以确定其中梯度消失/爆炸风险的大小。本文属于闭门造车之作，如有错漏，请读者海涵并斧正。

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