数学建模—模糊综合评价模型

一、概述

1、数学归纳法和秃子悖论

数学归纳法：（1）当n=1时，成立；（2）当n=k时，成立；（3）只需要证明当n=k+1时，也成立；则推出对所有n都成立。

秃子悖论：一个满头秀发的人，n为这个人掉头发的根数（1）当n=1时，这个人不是秃子；（2）当n=k时，这个人不是秃子；（3）证明得到n=k+1时，这个人不是秃子；则推出对所有n都成立，这个人不会是秃子。

如何解释：（1）文学上：压死骆驼的最后一根稻草；（2）哲学：质变与量变规律；（3）数学：引入模糊的概念。

2、数学中研究量的划分

量：确定性的量：经典数学（几何、代数）；不确定性的量：随机性（概率论、随机过程）、灰性（灰色系统）、模糊性（模糊数学）

3、生活中的模糊性

确定性概念：性别、天气、年龄、身高、体重

模糊性概念：帅、高、白、年轻

二、经典集合和模糊集合的概念

1、经典集合（classical set）与特征函数

a. 集合：具有相同属性的物质的集合，例如：颜色，性别，手机品牌，自然数集

b. 集合的基本属性：（1）互斥性；（2）确定性（非此即彼）： $a\in A, a\notin A$ 两者一定有一个发生。

c. 数学中对经典集合的刻画：特征函数

2、模糊集合（fuzzy set）和隶属函数

a. 模糊集合：用来表示模糊性概念的集合（帅、高、白、年轻）

b. 与经典集合相比，模糊集合承认亦此亦彼。

c. 数学中对模糊集合的刻画：隶属函数

A：模糊集合，U(A)=[0, 1]，注意与{0，1}的区别，{0，1}只有0和1两个元素，[0, 1]有无限种可能。

d.模糊集合的三种表示方法

论域U={x1, x2, x3, ....., xn}，模糊集合为A，隶属度为A(xi）= 1, 2, 3, ...., n

(1).zadeh表示法（扎得表示法）： $A=\frac{A(x1))}{x1}+\frac{A(x2))}{x2}+\frac{A(x3))}{x4}+....+\frac{A(xn))}{xn}$ ，这只是一种记法，不是加法。

(2).序偶表示法

(3).向量表示法

模糊集合分类：（1）偏小型（年轻，小，冷）；（2）中间型（中年，种，暖）；（3）偏大型（年老，大，热）；

三、隶属函数的三种确定方法

（1）模糊统计法（数模比赛种很少用到，因为要设计调查问卷，时间来不及）

原理：找多个人去对同一模糊概念进行评述，用隶属频率定义隶属度。

（2）借助已有的客观尺度（需要有合适的指标，并且能收集到数据）

论域	模糊集	隶属度
设备	设备完好	设备完好率
产品	质量稳定	正品率
家庭	小康家庭	恩格尔系数

注：这里我们找到的指标必须是在0到1之间。（如果不是0到1之间，则需要进行归一化）

（3）指派法（根据问题的性质，直接套用某些隶属函数，主观性比较强）

四、应用：模糊综合评价（评判）

（1）评价问题概述

模糊评价问题是要把论域中的对象对应评语集中一个指定的评语或者将方案作为评语集并选择一个最优的方案。（两个角度）

在模糊综合评价中，引入三个集合

a. 因素集（评价指标集）。U={u1，u2，u3，.....，un}

b.评语集（评价的结果）。V={v1, v2, v3, ....., vn}

c.权重集（指标的权重）。A={a1, a2, a3, ...., an}

（2）一级模糊综合评价

在指标个数较少的考核中，运用一级模糊综合评价，而问题较为复杂、指标较多时，运用多层次模糊综合评价。

一级模糊综合评价的建立步骤：

a. 确定因素集：找出多个评价角度，一级模糊综合评价的n往往比较小，且关联性并不多。

b. 确定评语集：由于每个指标的评价值不同，往往会形成不同的等级。

c. 确定各因素的权重：确定权重的方法：Delphi法，加权平均法，众人评估法。Delphi法：又称专家调查法，征求专家意见，再把专家意见反馈给专家，直到意见统一为止。

d. 确定模糊综合判断矩阵。对于指标ui来说，对各个评语的隶属度为V上的模糊子集。

e. 综合评判。

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