关于模糊函数

   大四开始接触《雷达原理》书籍，时隔半年多再次翻开这本书，对于典型波形的模糊函数的求导计算方法一直不太熟练，由于后续毕设等工作一直没有深究，由于需要继续深入研究雷达系统的建模，其要求对雷达体制的波形有深入的了解，借此机会顺便记录一下学习记录。

1.线性调频脉冲的定义

这里我们采用的《雷达系统分析与设计》书籍中关于线性调频脉冲的波形数学定义：

为了方便后面信号模糊函数的推导可以写出式(1)的复包络，即线性调频脉冲的复包络形式：

矩形脉冲的定义如下：

2.模糊函数的定义

在不同的书籍中，会应用到不同的模糊函数定义。
从分辨角度出发的模糊函数（正型模糊函数）：

线性调频脉冲的正型模糊函数：

从匹配滤波器输出得到的模糊函数（负型模糊函数）：

线性调频脉冲的负型模糊函数：

这篇文章的重点就是如何从式(4)推导式(5)，式(6)推导式(7)。

3.正型模糊函数推导过程

由于模糊函数具有对称性，因此我们推导出 τ > 0 \tau>0 τ>0的模糊函数，即可写出完整的模糊函数形式，下方负型模糊函数的推导同理，因此我们这里只推导 τ > 0 \tau>0 τ>0的情况，读者若感兴趣可以根据下方的推导过程写出 τ < 0 \tau<0 τ<0的计算过程作为练习。
我们先假设 τ > 0 \tau>0 τ>0:

标号解释
①积分上下限的选择
注意，我们计算的两个脉冲波形的积分结果，脉冲是有一定宽度的波形，显然我们只需要计算两个波形幅值同时不为0的积分即可，由下图可知 τ > 0 \tau>0 τ>0时积分限的选取:

因此当 τ > 0 \tau>0 τ>0时，有效积分区间为 [ − τ 0 / 2 , τ 0 / 2 − τ ] [-\tau_0/2,\tau_0/2-\tau] [−τ0/2,τ0/2−τ]，其实也可以将 ∣ t + τ ∣ |t+\tau| ∣t+τ∣带入式(3)矩形脉冲的定义，也可以推导出来，此处不再赘述，通过图片理解更清晰。请大家思考，若此时 τ < 0 \tau<0 τ<0，上图会发现什么变化，积分限又会变成多少呢？答案在最后揭晓。

②提取 e j 2 π f d τ e^{j2\pi f_d\tau} ej2πfdτ：
这一项的提取十分关键，是为了配凑括号中的 e e e指数只有正负号的差别，后续将使用欧拉公式来进一步说明②这一步的作用；

③欧拉公式的使用
欧拉公式如下所示：

由欧拉公式我们可以进一步得出：

通过式(6)可以将复杂的 e e e指数项，变成三角函数，并且可以发现 j j j可以上下消去；

④构造 s i n c sinc sinc函数
第四步是信号处理中常见的操作，出现了 s i n sin sin函数，会配凑分母，构造一个 s i n c sinc sinc函数：
因此分子，分母同时乘上一个 ( t p − τ ) (t_p-\tau) (tp−τ)。

至此 τ > 0 \tau>0 τ>0矩形脉冲的模糊函数的推导已经结束。

关于 τ < 0 \tau<0 τ<0的计算，操作步骤相同，大家可以自行推一下作为练习，下面只给出之前留下的问题的答案，即积分限的变化。

由于这时候 τ < 0 \tau<0 τ<0，因此 − τ 0 / 2 − τ -\tau_0/2-\tau −τ0/2−τ实际变大了，即矩形框向数轴右搬移了，因此模糊函数的积分上下限是一个值得深思的点。

4.负型模糊函数推导过程

同样，我们这里只推导 τ > 0 \tau>0 τ>0的情况，读者若感兴趣可以根据下方的推导过程写出 τ < 0 \tau<0 τ<0的计算过程作为练习。
首先，我们先假设 τ > 0 \tau>0 τ>0:

标号解释
①积分上下限的选择
注意，我们计算的两个脉冲波形的积分结果，脉冲是有一定宽度的波形，显然我们只需要计算两个波形幅值同时不为0的积分即可，与正型模糊函数的积分限选取不同，负型模糊函数的积分限存在一定的变化，主要区别就是 + τ +\tau +τ，还是 − τ -\tau −τ，具体细节可亲自将时延带入式(3)中的区间中获得，由下图可知负型模糊函数 τ > 0 \tau>0 τ>0时积分限的选取:

因此当 τ > 0 \tau>0 τ>0时，有效积分区间为 [ − τ 0 / 2 + τ , τ 0 / 2 ] [-\tau_0/2+\tau,\tau_0/2] [−τ0/2+τ,τ0/2]，其实也可以将 ∣ t − τ ∣ |t-\tau| ∣t−τ∣带入式(3)矩形脉冲的定义，也可以推导出来，此处不再赘述，通过图片理解更清晰。请大家思考，若此时 τ < 0 \tau<0 τ<0，上图会发现什么变化，积分限又会变成多少呢？答案在最后揭晓。

②提取 e j 2 π f d τ e^{j2\pi f_d\tau} ej2πfdτ：
这一项的提取十分关键，是为了配凑括号中的 e e e指数只有正负号的差别，这是一个必须掌握的技巧，在信号处理，通信原理等课程中经常会使用到，后续将使用欧拉公式来进一步说明②这一步的作用；

③欧拉公式的使用
欧拉公式如下所示：

由欧拉公式我们可以进一步得出：

通过式(6)可以将复杂的 e e e指数项，变成三角函数，并且可以发现 j j j可以上下消去；

④构造 s i n c sinc sinc函数
第四步是信号处理计算中常见的操作，出现了 s i n sin sin函数，会配凑分母，构造一个 s i n c sinc sinc函数：
因此分子，分母同时乘上一个 ( t p − τ ) (t_p-\tau) (tp−τ)。

至此 τ > 0 \tau>0 τ>0矩形脉冲的模糊函数的推导已经结束。

关于 τ < 0 \tau<0 τ<0的计算，操作步骤相同，大家可以自行推一下作为练习，下面只给出之前留下的问题的答案，即积分限的变化。

由于这时候 τ < 0 \tau<0 τ<0，因此 − τ 0 / 2 + τ -\tau_0/2+\tau −τ0/2+τ实际变小了，即矩形框向数轴左移动了，将此积分限带入式子即可进一步求解。显然，模糊函数的积分上下限是一个值得深思的点。

5.小结

至此，线性调频信号脉冲的正型，负型模糊函数的推导到此结束。
希望这这篇文章能对于你求解模糊函数有帮助，可以尝试求解矩形脉冲的模糊函数来看自己是否掌握了。
文中可能存在公式的书写错误或者文字的错别字，抑或说明不清楚的地方，欢迎评论区留言，期待与您的讨论。

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