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1、定义：含有导数的方程称为微分方程。如 f(x, y(x), y(x)=0,微分方程模型,1、微分方程的一般形式,F(x, y, y,y(n) ) = 0 隐式 或 y(n) = f (x, y, y,y (n-1) ) 显式,特殊情形,2、一阶微分方程组的一般形式,初始条件：y(x0) = y0,微分方程模型,图形解,返 回,解析解 y = f(t,数值解 (ti, yi,欧拉方法,改进欧拉方法,梯形法,龙格-库塔法,微分方程求解方法简介,微分方程数值解,1、欧拉法 2、龙格库塔法,数值求解思想：(变量离散化) 引入自变量点列xn yn， 在x0 x1x2xn上求y(xn)的近似值yn.通常取。

2、等步长 h，即xn = x0+ nh，或 xn = xn-1+ h，(n=1,2,1) 向前欧拉公式: (y= f (x, y) ) y (xn+1) y(xn) + h f(xn, y(xn) (迭代式) yn+1 yn + h f(xn, yn) (近似式) 特点：f(x,y)取值于区间xn, xn+1的左端点,在小区间xn, xn+1上用差商代替微商(近似,1、欧拉方法,yn+1 yn + h f(xn +1, yn +1) 特点： f(x,y)取值于区间xn, xn+1的右端点. 非线性方程, 称隐式公式,yn+1 = yn + h f(xn, yn,2) 向后欧拉公式,方法：迭代( 。

3、y= f (x, y),x=;y=; x(1)=x0; y(1)=y0; for n=1:k x(n+1)=x(n)+n*h; y(n+1) = y(n) + h *f(x(n), y(n); (向前) end,1、欧拉方法,例 1,观察向前欧拉、向后欧拉算法计算情况。与精确解进行比较。误差有多大,解：1) 解析解： y = x + e-x,1、欧拉方法,2) 向前欧拉法： yn+1 = yn + h(-yn + xn+ 1) = (1-h) yn + h xn+ h 3)向后欧拉法： yn+1 = yn + h(- yn +1+xn +1+1) 转化 yn+1 = (yn + h xn+1+。

4、 h )/(1+h,y = f(x,y) = -y + x +1,1、欧拉方法,x1(1)=0;y1(1)=1;y2(1)=1;h=0.1;(died.m) for k=1:10 x1(k+1)=x1(k)+h; y1(k+1)=(1-h)*y1(k)+h*x1(k)+h; y2(k+1)=(y2(k)+h*x1(k+1)+h)/(1+h); end x1,y1,y2,(y1向前欧拉解，y2向后欧拉解) x=0:0.1:1; y=x+exp(-x)(解析解) plot(x,y,x1,y1,k:,x1,y2,r,1、欧拉方法,1)步长h=0.1的数值解比较表,计算结果,2)步长h=0.01的数值。

5、解比较表,结论：显然迭代步长h 的选取对精度有影响,图形显示,有什么方法可以使精度提高,返 回,梯形公式,改进欧拉公式,返 回,步长 h= 0.1 的数值解比较表,使用改进欧拉公式的例,2、龙格-库塔法,龙格-库塔法是利用泰勒展式将y(x+h)在x处展开，并取其前面若干项来近似y(x+h)而得到公式 y(x+h) y(x) + h j (x, y(x), h) 如果y(xn) yn，则y(xn+1)的近似值为： yn+1 = yn + h j (xn, yn, h), n = 0, 1, 若 y(x+h) - y(x) + h j (x, y(x), h)= O (h p+1)， 则称以上迭代。

6、公式为p阶公式，p的大小反映了截断误差的高低，高阶高精度。要得到一个p阶公式，关键在于如何选取j(x, y(x), h)使之满足阶的要求,返 回,微分方程图解法,欲将微分方程解的全局信息形象化、直观化,对于一阶微分方程dy/dx=f(x,y)，如果给出平面上任意一点(x, y)，就能够确定出解y = f(x)在该点(x, y)处的斜率f (x, y )。从图象上看，给出平面上的一系列点，通过每一点(x0, y0)，可以画出一条通过点(x0, y0)、斜率为f (x0, y0)的短直线。这样的短直线布满整个坐标平面，形成的图形就称为斜率场或方向场,微分方程图解法,相平面轨迹表示微分方程的解,微分。

7、方程图解法,利用微分方程的数值解法，可以得到其数值解：(x(t)，y(t)在t取离散值时的取值列向量X, Y；然后分别独立地作出函数x(t)和y(t)的曲线，如图4.2，其初值条件为(5, 5,微分方程图解法,微分方程图解法,如果撇开自变量的取值T，直接利用X, Y的分量作为坐标，就可以在xoy平面上画出解的轨迹，称为相平面轨迹图,微分方程图解法,MATLAB软件求解,解析解,y=dsolve(eqn1,eqn2, , c1 , x,例,输入：y=dsolve (Dy=1+y2) y1=dsolve(Dy=1+y2,y(0)=1,x,输出：y= tan(t-C1) (通解) y1= tan(x。

8、+1/4*pi) (特解,MATLAB软件求解,例 常系数的二阶微分方程,y=dsolve(D2y-2*Dy-3*y=0,x) y=dsolve(D2y-2*Dy-3*y=0,y(0)=1,Dy(0)=0,x,输入,x=dsolve(D2x-(1-x2)*Dx+x=0, x(0)=3,Dx(0)=0,无解析表达式,x=dsolve(Dx)2+x2=1,x(0)=0,例 非线性微分方程,x = sin(t) -sin(t) 若欲求解的某个数值解，如何求解,t=pi/2; eval(x,MATLAB软件求解,输入： x,y=dsolve(Dx=3*x+4*y,Dy=-4*x+3*y) x,y=ds。

9、olve(Dx=3*x+4*y,Dy=-4*x+3*y,x(0)=0,y(0)=1,例,输出： x = 1/2*exp(7*t)-1/2*exp(-t) y = 1/2*exp(-t)+1/2*exp(7*t,返 回,MATLAB软件求解,MATLAB软件求解,数值解,其中(1)Fun表示由微分方程(组)写成的m文件名； (2)y0表示为函数的初值； (3)options用于设定误差限(可以默认)。程序为 options = odeset(reltol,rt,abstol,at) 这里的rt和at分别为设定的相对误差和绝对误差。(rt=1e-7,t,y = ode45( Fun, t0，tf,。

10、 y0, options,1)首先建立M-文件 (weif.m) function f = weif(x,y) f=-y+x+1; 2)求解：x，y=ode23(weif, 0, 1, 1) 3) 作图形: plot(x, y, r); 4) 与精确解进行比较 hold on ezplot(x+exp(-x),0, 1,例1 y= - y+x+1，y(0) = 1,标准形式： y= f(x , y,范例,使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组,注意,选择一组状态变量,注意,1、建立M文件函数 function xdot = fun(t,x,y) xdot =。

11、 x2(t)；x3(t)；f(t, x1(t), x2(t),xn(t)； 2、数值计算(执行以下命令) t,x1,x2,xn=ode45(fun,t0,tf, x1(0),x2(0),xn(0,该方程无解析解,范例,1)编写M文件 ( 文件名为 vdpol.m): function yp = vdpol(t,y); yp=y(2);(1-y(1)2)*y(2)-y(1,2)编写程序如下:(vdj.m) t,y=ode23(vdpol,0,20,3,0); y1=y(:,1); % 原方程的解 y2=y(:,2); plot(t,y1,t,y2,-) % y1(t),y2(t) 曲线图 pau。

12、se, plot(y1,y2),grid, % 相轨迹图，即y2(y1)曲线,范例,蓝色曲线 y(1)； (原方程解) 红色曲线 y(2,计算结果,范例,范例,例3 考虑Lorenz模型,其中参数=8/3，=10，=28,解：1)编写M函数文件(lorenz.m); 2) 数值求解并画三维空间的相平面轨线； (ltest.m,范例,1、 lorenz.m function xdot=lorenz(t,x) xdot=-8/3,0,x(2);0,-10,10;-x(2),28,-1*x,2、ltest.m x0=0 0 0.1; t,x=ode45(lorenz,0,10,x0); plot(t。

13、,x(:,1),-,t,x(:,2),*,t,x(:,3),+) pause plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3),grid on 计算结果如下图,范例,图中，x1的图形为实线(蓝)，x2的图形为“*”线(绿)， x3的图形为“+”线(红).取t0，tf=0，10,若自变量区间取0，20、0，40，计算结果如下,范例,曲线呈震荡发散状,三维图形的混沌状,ltest.m,观察结果,1、该曲线包含两个“圆盘”，每一个都是由螺线形轨道构成。某些轨道几乎是垂直地离开圆盘中一个而进入另一个,2、随着t的增加，x(t)先绕一个圆盘几圈，然后“跳”到另一个圆盘中。绕第二个圆盘几圈，又跳回原来。

14、的圆盘。 并以这样的方式继续下去，在每个圆盘上绕的圈数是随机的,思考：该空间曲线与初始点x0的选择有关吗,1)x0=0 0.1 0.1;t0,tf=0,30;解向量y 2)x00=0.01 0.11 0.11;t0,tf=0,30;解向量x y x = (y1-x1,y2-x2,y3-x3,返 回,1、Apollo卫星的运动轨迹的绘制,实验内容,2、用向前欧拉公式和改进的欧拉公式求方程 y=y-2x/y, y(0) = 1的数值解(0 x1,h=0.1) 要求编写程序,实验内容,3、Rossler微分方程组,当固定参数b=2,c=4时，试讨论随参数a由小到大变化(如a(0,0.65)而方程解的变化情况，并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状？ 4、操练一,返 回,实验内容。