肯德尔距离（Kendall’s-τ）

2024-05-29 12:23:23

肯德尔距离（Kendall’s-τ）

肯德尔距离定义为两个序列Order排序的最小交换距离（定义是这样的，但直接理解成物品交换次数结果是一样的，不需要先转换成Order排序，只是转换后代码实现时算法的时间复杂度会变成线性的），用下面的实例进行讲解。

1.初始化序列
给定五个物品{1，2，3，4，5}和两个物品序列σ=(2,1,4,5,3)\sigma=(2,1,4,5,3)σ=(2,1,4,5,3)和π=(1,2,3,4,5)\pi=(1,2,3,4,5)π=(1,2,3,4,5)

2.计算序列的Order

首先可以生成两个序列的Order排序分别为σ−1=(2,1,5,4,3)\sigma^{-1}=(2,1,5,4,3)σ−1=(2,1,5,4,3)和π−1=(1,2,3,4,5)\pi^{-1}=(1,2,3,4,5)π−1=(1,2,3,4,5),其中σ−1\sigma^{-1}σ−1的3号位是5的原因是原本σ\sigmaσ的物品3放在了序列的第五个位置上,后面的σ−1\sigma^{-1}σ−1中出现的4和3原因是一样的。π−1\pi^{-1}π−1中刚好每个物品都在对应位置上，所以是(1,2,3,4,5)(1,2,3,4,5)(1,2,3,4,5)

3.计算肯德尔距离Dk(σ,π)D_k(\sigma,\pi)Dk(σ,π)

将上述σ−1=(2,1,5,3,4)\sigma^{-1}=(2,1,5,3,4)σ−1=(2,1,5,3,4)相邻位置的order值两两交换，使其变成π−1=(1,2,3,4,5)\pi^{-1}=(1,2,3,4,5)π−1=(1,2,3,4,5)，交换用下图示表示。我们将Dk(σ,π)D_k(\sigma,\pi)Dk(σ,π)定义为最小的交换次数。如图中需要交换3次，故Dk(σ,π)=3D_k(\sigma,\pi)=3Dk(σ,π)=3

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