P6657 【模板】LGV 引理

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题目大意：
有一个 n×nn\times nn×n 的棋盘，左下角为 (1,1)(1,1)(1,1)，右上角为 (n,n)(n,n)(n,n)，若一个棋子在点 (x,y)(x,y)(x,y)，那么走一步只能走到 (x+1,y)(x+1,y)(x+1,y) 或 (x,y+1)(x,y+1)(x,y+1)。

现在有 mmm 个棋子，第 iii 个棋子一开始放在 (ai,1)(a_i,1)(ai,1)，最终要走到 (bi,n)(b_i,n)(bi,n) 。问有多少种方案，使得每个棋子都能从起点走到终点，且对于所有棋子，走过路径上的点互不相交。输出方案数 mod998244353\bmod\ 998244353mod 998244353 的值。

两种方案不同当且仅当存在至少一个棋子所经过的点不同。

题目分析：
LGVLGVLGV 引理：
GGG 是一个有限的带权有向无环图。每个顶点的度是有限的，不存在有向环（所以路径数量是有限的）。
起点 A={a1,⋯,an}A=\{a_1,\cdots,a_n\}A={a1,⋯,an}，终点 B={b1,⋯,bn}B=\{b_1,\cdots,b_n\}B={b1,⋯,bn}。
每条边 eee 有权 wew_ewe ，并假定值属于某交换环。
对于一个有向路径 PPP，定义 ω(P)\omega(P)ω(P) 为路径上所有边权的积。
对任意顶点 aaa，bbb ，定义 e(a,b)=∑P:a→bω(P)e(a,b)=\sum\limits_{P:a \to b}{\omega(P)}e(a,b)=P:a→b∑ω(P) 。
设矩阵
M=(e(a1,b1)e(a1,b2)⋯e(a1,bn)e(a2,b1)e(a2,b2)⋯e(a2,bn)⋮⋮⋱⋮e(an,b1)e(an,b2)⋯e(an,bn))M= \begin{pmatrix} e(a_1,b_1) & e(a_1,b_2) & \cdots & e(a_1,b_n) \\ e(a_2,b_1) & e(a_2,b_2) & \cdots & e(a_2,b_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ e(a_n,b_1) & e(a_n,b_2) & \cdots & e(a_n,b_n) \\ \end{pmatrix}M=⎝⎜⎜⎜⎛e(a1,b1)e(a2,b1)⋮e(an,b1)e(a1,b2)e(a2,b2)⋮e(an,b2)⋯⋯⋱⋯e(a1,bn)e(a2,bn)⋮e(an,bn)⎠⎟⎟⎟⎞
那么 AAA 到 BBB 的所有不相交的路径条数为 det⁡(M)\det(M)det(M)

对于本题：
由于是求方案数所以可以把边权抽象成 111
e(ai,bj)e(a_i,b_j)e(ai,bj) 可以利用排列组合来计算，就是从 (ai,1)(a_i,1)(ai,1) 走到 (bj,n)(b_j,n)(bj,n) 的方案数，即 Cbj−ai+n−1n−1C_{b_j-a_i+n-1}^{n-1}Cbj−ai+n−1n−1
然后套一个高斯消元求行列式即可
时间复杂度为 O(n+m3)O(n+m^3)O(n+m3)

具体细节见代码：

//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
//#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<queue>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
//#define int  ll
#define endl '\n'
#define IOS ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0)
using namespace std;
int read()
{int res = 0,flag = 1;char ch = getchar();while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch == '-') flag = -1;ch = getchar();}while(ch>='0' && ch<='9'){res = (res<<3)+(res<<1)+(ch^48);//res*10+ch-'0';ch = getchar();}return res*flag;
}
const int maxn = 2e6+5;
const int mod = 998244353;
const double pi = acos(-1);
const double eps = 1e-8;
int n,m,a[maxn],b[maxn],fac[maxn],inv[maxn],mat[105][105];
int qpow(int a,int b)
{int res = 1;while(b){if(b&1) res = (ll)res*a%mod;a = (ll)a*a%mod;b >>= 1;}return res;
}
int Gauss(int a[][105],int n,const int p) // 求行列式
{int res = 1;for(int i = 1;i <= n;i++){int pos = i;for(int j = i+1;j <= n;j++)if(a[j][i] > a[pos][i]) pos = j;if(!a[pos][i]) return 0;if(i^pos) swap(a[i],a[pos]),res *= -1;for(int j = i+1;j <= n;j++){if(a[j][i] > a[i][i]) swap(a[j],a[i]),res *= -1;while(a[j][i]){int tmp = a[i][i]/a[j][i];for(int k = i;k <= n;k++)a[i][k] = (a[i][k]+(ll)(p-tmp)*a[j][k])%p;swap(a[j],a[i]),res *= -1;}}}for(int i = 1;i <= n;i++) res = (ll)res*a[i][i]%p;return (res+p)%p;
}
int C(int n,int m)
{if(n < m) return 0;return (ll)fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int main()
{fac[0] = 1;for(int i = 1;i < maxn;i++) fac[i] = (ll)fac[i-1]*i%mod;inv[maxn-1] = qpow(fac[maxn-1],mod-2);for(int i = maxn-1;i;i--) inv[i-1] = (ll)inv[i]*i%mod;int t = read();while(t--){n = read(),m = read();for(int i = 1;i <= m;i++) a[i] = read(),b[i] = read();for(int i = 1;i <= m;i++)for(int j = 1;j <= m;j++) mat[i][j] = C(b[j]-a[i]+n-1,n-1);cout<<Gauss(mat,m,mod)<<endl;}return 0;
}

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