数学与泛型编程 https://blog.csdn.net/nameofcsdn/article/details/110448717

一，映射、变换、置换

1，映射

2，变换

3，置换

二，变换群、置换群、对称群（全置换群）

1，变换群

2，置换群

3，对称群（全置换群）

三，凯莱定理

四，换位

五，置换分解成循环

六，交换两个区间

七，旋转（rotation）

八，利用循环来执行旋转

九，倒置

一，映射、变换、置换

1，映射

集合A到集合B可以定义一个映射。

映射根据是否是单射，是否是满射，可以分为非单非满映射、单射非满射、满射非单射、一一映射四种。

2，变换

集合A到自身的映射，叫做变换。

很自然的就有集合A上的单射变换、满射变换和一一变换。

一一映射、一一变换、恒等映射、恒等变换都是一个意思。

3，置换

如果A是有限集合，那么A上的变换叫做置换。

标准记法：

$\left(\begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{array}\right)$

简化记法：

（2 4 1 3）

二，变换群、置换群、对称群（全置换群）

1，变换群

由若干变换为元素，复合作为运算的群，叫做变换群。

2，置换群

由若干置换为元素，复合作为运算的群，叫做置换群。

3，对称群（全置换群）

由n个元素的全部置换所构成的群，称为对称群Sn，也叫全置换群。

根据定义，对称群具备下列属性：

二元运算：复合（composition，该运算具备结合性）

取逆运算：逆置换（inverse permutation）

单位元素：恒等置换（identity permutation）

三，凯莱定理

凯莱定理：凡是元素个数为n的群，都与对称群Sn的某子群同构。

// TODO：这个定理的证明没怎么研究。

四，换位

换位，是交换第i与第j个元素（i≠j），并保持其余元素不动的置换。

C++中的交换swap和换位意思差不多。

swap操作只要求其参数满足Semiregular这一concept即可，不一定非得是Regular才行。

换位引理：任何一种置换方式，都是若干换位的乘积。

五，置换分解成循环

置换可以分解成若干个循环。

这种分解可以记为（235614）=（1235）（46）

包含一个元素的循环，称为平凡循环。

每个长度为k的非平凡循环，都需要用k+1次赋值操作才能完成。

原地执行任意一种置换方式，需要使用n-u+v次赋值操作，其中n是元素个数，u与v分别是该置换方式中的平凡与非平凡循环个数。

六，交换两个区间

可以用first0与last0来表示第一个区间的左界和右界，并且用first1来表示第二个区间的左界：

我们为了能在数据上面调用swap操作，必须保证I0的值类型与I1的值类型相同。由于concept还未正式融入C++语言，因此我们在代码中，暂时以注释来表达这一要求。

这里演示了一条重要的编程原则：类型分离原则。

如果两份数据有可能是不同的类型，那么就不要假设它们必然是同一个类型。

上面的2个迭代器类型可以不同，所以我们可以用来交换链表的一段和数组的一段。

七，旋转（rotation）

将n个元素根据k值（k≥0）做如下形式的转置：（k mod n，k+1 mod n，...，k+n-2 mod n，k+n-1 mod n）称为n个元素的k次旋转。

旋转的Gries-Mills算法：

如果rotate算法，能够返回参数m在算法执行完毕时所具备的新值，那么会对很多计算场景都有所帮助，因为该值反映了旋转前的首个元素，在旋转后所处的位置。有了这个值，就可以通过rotate（f，rotate（f，m，l），l）来实现恒等置换。

算法的赋值次数是 3（n-gcd（n，k））

Gries-Mills算法每次移动时，都只需前进一个位置，也就是说，该算法可以用于单链表这样的数据结构。

八，利用循环来执行旋转

n个元素的k次旋转，含有gcd（k，n）个循环，因此，只需做n+gcd（k，n）次赋值即可。

借助循环来实现的旋转算法，需执行跨度大于1的跳跃，这意味着它对迭代器的要求比前者高，换句话说，它要求迭代器必须支持随机访问。

首先我们实现单个循环：

template <ForwardIterator I, Transformation F>
void rotate_cycle_from(I i, F from) {ValueType<I> tmp = *i;I start = i;for (I j = from(i); j = start; j = from(j)) {*i = *j, i = j;}*i = tmp;
}

这个rotate_cycle_from函数可以完成迭代器i所在的循环，from是跳跃访问的迭代器，可以把from（i）理解成：计算i位置上的元素来自何处。

利用循环来执行旋转：

九，倒置

倒置（reverse）就是对含有k个元素的列表进行置换，使得第0个与第k-1个元素互换、第1个与第k-2个元素互换，依此类推。

用倒置实现旋转：

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一，映射、变换、置换

1，映射

2，变换

3，置换

二，变换群、置换群、对称群（全置换群）

1，变换群

2，置换群

3，对称群（全置换群）

三，凯莱定理

四，换位

五，置换分解成循环

六，交换两个区间

七，旋转（rotation）

八，利用循环来执行旋转

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