常用基本初等函数的求导公式推导
文章目录
- 0、常用基本初等函数的求导公式
- 1、axa^xax和exe^xex的导数
- 2、logaxlog_axlogax和lnxlnxlnx的导数
- 2.1 lnxlnxlnx的导数
- 2.2 logaxlog_axlogax的导数
- 3、xxx^xxx的导数
- 4、xrx^rxr的导数（r为实数）
- 5、三角函数的导数
- 5.1 sinx\sin xsinx的导数
- 方法一
- 方法二
- 5.2 cosx\cos xcosx的导数
- 5.3 tanx\tan xtanx的导数
- 5.4 cscx\csc xcscx的导数
- 5.5 secx\sec xsecx的导数
- 5.6 cotx\cot xcotx的导数
- 6、反三角函数的导数
- 6.1 arcsinx\arcsin xarcsinx的导数
- 6.2 arccosx\arccos xarccosx的导数
- 6.3 arctanx\arctan xarctanx的导数
- 7、双曲函数的导数
- 7.1 sinhx\sinh xsinhx的导数
- 7.2 coshx\cosh xcoshx的导数
- 7.3 tanhx\tanh xtanhx的导数
0、常用基本初等函数的求导公式
1、axa^xax和exe^xex的导数
根据导数的定义
ddxax=limΔx→0ax+Δx−axΔx=limΔx→0ax⋅aΔx−axΔx=axlimΔx→0aΔx−1Δx\frac{d}{dx}a^x=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{a^x\cdot a^{\Delta x}-a^x}{\Delta x}=a^x\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x} dxdax=Δx→0limΔxax+Δx−ax=Δx→0limΔxax⋅aΔx−ax=axΔx→0limΔxaΔx−1
令M(a)=limΔx→0aΔx−1Δx\text{令}M\left( a \right) =\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x} 令M(a)=Δx→0limΔxaΔx−1
则ddxax=axM(a)\text{则}\frac{d}{dx}a^x=a^xM\left( a \right) 则dxdax=axM(a)
由于
M(a)=limΔx→0aΔx−1Δx=limΔx→0a0+Δx−a0Δx=ddxax∣x=0M\left( a \right) =\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{a^{0+\Delta x}-a^0}{\Delta x}=\left. \frac{d}{dx}a^x \right|_{x=0} M(a)=Δx→0limΔxaΔx−1=Δx→0limΔxa0+Δx−a0=dxdax∣∣∣∣x=0
得M(a)M(a)M(a)为函数图像y=axy=a^xy=ax在x=0x=0x=0处切线的斜率，如图所示
考虑是否存在bbb使M(b)=1M(b)=1M(b)=1
令a=2a=2a=2，函数图像如图所示，割线（secant line）经过点(0,1)(0,1)(0,1)和(1,2)(1,2)(1,2)，其斜率为1，所以可得M(2)<1M(2)<1M(2)<1
令a=4a=4a=4，函数图像如图所示，割线（secant line）经过点(−12,12)(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})(−21,21)和(1,2)(1,2)(1,2)，其斜率为1，所以可得M(4)>1M(4)>1M(4)>1
所以存在b∈(2,4)b\in(2,4)b∈(2,4)使M(b)=1M(b)=1M(b)=1
实际上M(e)=1(e为自然常数)M(e)=1 (e为自然常数)M(e)=1(e为自然常数)
详见：
谈谈高等数学中自然常数e的来历
The Enigmatic Number e: A History in Verse and Its Uses in the Mathematics Classroom
现在我们有M(e)=1M(e)=1M(e)=1，即可得
M(e)=limΔx→0eΔx−1Δx=1(实际上此极限也可从e的定义推导可得，从而通过导数的定义计算ex的导数)M\left( e \right) =\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}=1 (实际上此极限也可从e的定义推导可得，从而通过导数的定义计算e^x的导数) M(e)=Δx→0limΔxeΔx−1=1(实际上此极限也可从e的定义推导可得，从而通过导数的定义计算ex的导数)
可计算出导数
ddxex=ex\frac{d}{dx}e^x=e^x dxdex=ex
回到计算axa^xax，通过将axa^xax化为以eee为底的指数，来计算其导数
ddxax=ddxexlna=(lna)exlna=axlna\frac{d}{dx}a^x=\frac{d}{dx}e^{x\ln a}=\left( \ln a \right) e^{x\ln a}=a^x\ln a dxdax=dxdexlna=(lna)exlna=axlna
2、logaxlog_axlogax和lnxlnxlnx的导数
2.1 lnxlnxlnx的导数
令y=lnx则ey=x\text{令\,\,}y=\ln x\ \text{则\,\,}e^y=x 令y=lnx 则ey=x
ddx(ey=x)⇒ey⋅dydx=1\frac{d}{dx}\left( e^y=x \right) \ \Rightarrow e^y\cdot \frac{dy}{dx}=1 dxd(ey=x) ⇒ey⋅dxdy=1
dydx=1ey=1x\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x} dxdy=ey1=x1
2.2 logaxlog_axlogax的导数
令y=logax则ay=x\text{令\,\,}y=\log _ax\ \text{则\,\,}a^y=x 令y=logax 则ay=x
ddx(ay=x)⇒ay⋅lna⋅dydx=1\frac{d}{dx}\left( a^y=x \right) \Rightarrow a^y\cdot \ln a\cdot \frac{dy}{dx}=1 dxd(ay=x)⇒ay⋅lna⋅dxdy=1
dydx=1ay⋅lna=1xlna\frac{dy}{dx}=\frac{1}{a^y\cdot \ln a}=\frac{1}{x\ln a} dxdy=ay⋅lna1=xlna1
3、xxx^xxx的导数
xx=(elnx)x=exlnxx^x=\left( e^{\ln x} \right) ^x=e^{x\ln x} xx=(elnx)x=exlnx
ddxxx=ddxexlnx=exlnx(lnx+x⋅1x)=xx(lnx+1)\frac{d}{dx}x^x=\frac{d}{dx}e^{x\ln x}=e^{x\ln x}\left( \ln x+x\cdot \frac{1}{x} \right) =x^x\left( \ln x+1 \right) dxdxx=dxdexlnx=exlnx(lnx+x⋅x1)=xx(lnx+1)
4、xrx^rxr的导数（r为实数）
xr=(elnx)r=erlnxx^r=\left( e^{\ln x} \right) ^r=e^{r\ln x} xr=(elnx)r=erlnx
ddxxr=ddxerlnx=erlnx⋅rx=xr⋅rx=r⋅xr−1\frac{d}{dx}x^r=\frac{d}{dx}e^{r\ln x}=e^{r\ln x}\cdot \frac{r}{x}=x^r\cdot \frac{r}{x}=r\cdot x^{r-1} dxdxr=dxderlnx=erlnx⋅xr=xr⋅xr=r⋅xr−1
5、三角函数的导数
5.1 sinx\sin xsinx的导数
方法一
ddxsinx=limΔx→0sin(x+Δx)−sinxΔx=limΔx→0sinx⋅cosΔx+cosx⋅sinΔx−sinxΔx(两角和公式sin(a+b)=sina⋅cosb+cosa⋅sinb)=limΔx→0sinx⋅(cosΔx−1)Δx+limΔx→0cosx⋅sinΔxΔx\begin{aligned} \frac{d}{dx}\sin x&=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\sin \left( x+\Delta x \right) -\sin x}{\Delta x} \\ &=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\sin x\cdot \cos \Delta x+\cos x\cdot \sin \Delta x-\sin x}{\Delta x}\ \left(两角和公式 \sin \left( a+b \right) =\sin a\cdot \cos b+\cos a\cdot \sin b \right) \\ &=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\sin x\cdot \left( \cos \Delta x-1 \right)}{\Delta x}+ \underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\cos x\cdot \sin \Delta x}{\Delta x} \end{aligned} dxdsinx=Δx→0limΔxsin(x+Δx)−sinx=Δx→0limΔxsinx⋅cosΔx+cosx⋅sinΔx−sinx (两角和公式sin(a+b)=sina⋅cosb+cosa⋅sinb)=Δx→0limΔxsinx⋅(cosΔx−1)+Δx→0limΔxcosx⋅sinΔx
由于
limx→0cosx−1x=limx→01−2sin2x2−1x(倍角公式cos2x=1−2sin2x)=−limx→0(sinx2x2⋅sinx2)=−limx→0sinx2(重要极限limx→0sinxx=1)=0\begin{aligned} \underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\cos x-1}{x}&=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{1-2\sin ^2\frac{x}{2}-1}{x}\ \left(倍角公式 \cos 2x=1-2\sin ^2x \right)\\ &=-\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\cdot \sin \frac{x}{2} \right) \\ &=-\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\sin \frac{x}{2}\ \left( \text{重要极限}\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\sin x}{x}=1 \right) \\ &=0 \end{aligned} x→0limxcosx−1=x→0limx1−2sin22x−1 (倍角公式cos2x=1−2sin2x)=−x→0lim(2xsin2x⋅sin2x)=−x→0limsin2x (重要极限x→0limxsinx=1)=0
得
ddxsinx=limΔx→0sinx⋅(cosΔx−1)Δx+limΔx→0cosx⋅sinΔxΔx=cosx\frac{d}{dx}\sin x=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\sin x\cdot \left( \cos \Delta x-1 \right)}{\Delta x}+ \underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\cos x\cdot \sin \Delta x}{\Delta x}=\cos x dxdsinx=Δx→0limΔxsinx⋅(cosΔx−1)+Δx→0limΔxcosx⋅sinΔx=cosx
方法二
由于Δx\Delta xΔx很小，所以可以认为OA⊥ABOA \bot ABOA⊥AB和AB=Δx(Δx为弧度)AB=\Delta x (\Delta x 为弧度)AB=Δx(Δx为弧度)，易证∠ABE=x\angle ABE=x∠ABE=x（OA逆时针旋转90°和AB平行，OD逆时针旋转90°和BE平行，OA与OD的夹角为xxx，则AB与BE的夹角也为xxx）
可得ΔyΔx=BEAB=cosx，即ddxsinx=cosx可得\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{BE}{AB}=\cos x，即\frac{d}{dx}\sin x=\cos x 可得ΔxΔy=ABBE=cosx，即dxdsinx=cosx
5.2 cosx\cos xcosx的导数
ddxcosx=limΔx→0cos(x+Δx)−cosxΔx=limΔx→0cosx⋅cosΔx−sinx⋅sinΔx−cosxΔx(两角和公式cos(a+b)=cosa⋅cosb−sina⋅sinb)=limΔx→0cosx⋅(cosΔx−1)Δx−limΔx→0sinx⋅sinΔxΔx=−sinx\begin{aligned} \frac{d}{dx}\cos x&=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\cos \left( x+\Delta x \right) -\cos x}{\Delta x}\\ &=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\cos x\cdot \cos \Delta x-\sin x\cdot \sin \Delta x-\cos x}{\Delta x}\ \left(两角和公式 \cos \left( a+b \right) =\cos a\cdot \cos b-\sin a\cdot \sin b \right) \\ &=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\cos x\cdot \left( \cos \Delta x-1 \right)}{\Delta x}-\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{\sin x\cdot \sin \Delta x}{\Delta x}\\ &=-\sin x \end{aligned} dxdcosx=Δx→0limΔxcos(x+Δx)−cosx=Δx→0limΔxcosx⋅cosΔx−sinx⋅sinΔx−cosx (两角和公式cos(a+b)=cosa⋅cosb−sina⋅sinb)=Δx→0limΔxcosx⋅(cosΔx−1)−Δx→0limΔxsinx⋅sinΔx=−sinx
5.3 tanx\tan xtanx的导数
ddxtanx=ddxsinxcosx=cos2x+sin2xcos2x(商的求导法则)=1cos2x=sec2x\begin{aligned} \frac{d}{dx}\tan x&=\frac{d}{dx}\frac{\sin x}{\cos x}\\ &=\frac{\cos ^2x+\sin ^2x}{\cos ^2x}\ \left( \text{商的求导法则} \right) \\ &=\frac{1}{\cos ^2x}\\ &=\sec ^2x \end{aligned} dxdtanx=dxdcosxsinx=cos2xcos2x+sin2x (商的求导法则)=cos2x1=sec2x
5.4 cscx\csc xcscx的导数
ddxcscx=ddx(sinx)−1=−(sinx)−2cosx=−cosxsin2x=−cscx⋅cotx\frac{d}{dx}\csc x=\frac{d}{dx}\left( \sin x \right) ^{-1}=-\left( \sin x \right) ^{-2}\cos x=-\frac{\cos x}{\sin ^2x}=-\csc x\cdot \cot x dxdcscx=dxd(sinx)−1=−(sinx)−2cosx=−sin2xcosx=−cscx⋅cotx
5.5 secx\sec xsecx的导数
ddxsecx=ddx(cosx)−1=−(cosx)−2(−sinx)=sinxcos2x=secx⋅tanx\frac{d}{dx}\sec x=\frac{d}{dx}\left( \cos x \right) ^{-1}=-\left( \cos x \right) ^{-2}\left( -\sin x \right) =\frac{\sin x}{\cos ^2x}=\sec x\cdot \tan x dxdsecx=dxd(cosx)−1=−(cosx)−2(−sinx)=cos2xsinx=secx⋅tanx
5.6 cotx\cot xcotx的导数
ddxcotx=ddxcosxsinx=−sin2x−cos2xsin2x(商的求导法则)=−1sin2x=−csc2x\begin{aligned} \frac{d}{dx}\cot x&=\frac{d}{dx}\frac{\cos x}{\sin x}\\ &=\frac{-\sin ^2x-\cos ^2x}{\sin ^2x}\,\,\left( \text{商的求导法则} \right)\\ &=-\frac{1}{\sin ^2x}\\ &=-\csc ^2x\\ \end{aligned} dxdcotx=dxdsinxcosx=sin2x−sin2x−cos2x(商的求导法则)=−sin2x1=−csc2x
6、反三角函数的导数
6.1 arcsinx\arcsin xarcsinx的导数
令 y=arcsinx则 siny=x\text{令\ }y=\arcsin x\ \text{则\ }\sin y=x 令 y=arcsinx 则 siny=x
ddx(siny=x)⇒cosy⋅dydx=1\frac{d}{dx}\left( \sin y=x \right) \Rightarrow \cos y\cdot \frac{dy}{dx}=1\ dxd(siny=x)⇒cosy⋅dxdy=1
dydx=1cosy=11−sin2y=11−x2\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin ^2y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dxdy=cosy1=1−sin2y1=1−x21
6.2 arccosx\arccos xarccosx的导数
令 y=arccosx则 cosy=x\text{令\ }y=\arccos x\ \text{则\ }\cos y=x 令 y=arccosx 则 cosy=x
ddx(cosy=x)⇒−siny⋅dydx=1\frac{d}{dx}\left( \cos y=x \right) \Rightarrow -\sin y\cdot \frac{dy}{dx}=1\ dxd(cosy=x)⇒−siny⋅dxdy=1
dydx=−1siny=−11−cos2y=−11−x2\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sin y}=-\frac{1}{\sqrt{1-\cos ^2y}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dxdy=−siny1=−1−cos2y1=−1−x21
6.3 arctanx\arctan xarctanx的导数
令 y=arctanx则 tany=x\text{令\ }y=\arctan x\ \text{则\ }\tan y=x 令 y=arctanx 则 tany=x
ddx(tany=x)⇒sec2y⋅dydx=1\frac{d}{dx}\left( \tan y=x \right) \Rightarrow \sec ^2y\cdot \frac{dy}{dx}=1\ dxd(tany=x)⇒sec2y⋅dxdy=1
dydx=cos2y\frac{dy}{dx}=\cos ^2y dxdy=cos2y
由图可得 cosy=11+x2则 dydx=cos2y=11+x2\text{由图可得\ }\cos y=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\ \text{则\ }\frac{dy}{dx}=\cos ^2y=\frac{1}{1+x^2} 由图可得 cosy=1+x21 则 dxdy=cos2y=1+x21
7、双曲函数的导数
sinh(x)=ex−e−x2,cosh(x)=ex+e−x2,tanh(x)=sinh(x)cosh(x)=ex−e−xex+e−x\sinh\left( x \right) =\frac{e^x-e^{-x}}{2}\ ,\ \cosh\left( x \right) =\frac{e^x+e^{-x}}{2}\ ,\ \tanh\left( x \right) =\frac{\sinh\left( x \right)}{\cosh\left( x \right)}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} sinh(x)=2ex−e−x , cosh(x)=2ex+e−x , tanh(x)=cosh(x)sinh(x)=ex+e−xex−e−x
7.1 sinhx\sinh xsinhx的导数
ddxsinhx=ddx(ex−e−x2)=ex+e−x2=coshx\frac{d}{dx}\sinh x=\frac{d}{dx}\left( \frac{e^x-e^{-x}}{2} \right) =\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x dxdsinhx=dxd(2ex−e−x)=2ex+e−x=coshx
7.2 coshx\cosh xcoshx的导数
ddxcoshx=ddx(ex+e−x2)=ex−e−x2=sinhx\frac{d}{dx}\cosh x=\frac{d}{dx}\left( \frac{e^x+e^{-x}}{2} \right) =\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh x dxdcoshx=dxd(2ex+e−x)=2ex−e−x=sinhx
7.3 tanhx\tanh xtanhx的导数
ddxtanhx=ddxsinhxcoshx=cosh2x−sinh2xcosh2x(商的求导法则)=1cosh2x(由cosh2x−sinh2x=1可得)\begin{aligned} \frac{d}{dx}\tanh x&=\frac{d}{dx}\frac{\sinh x}{\cosh x}\\ &=\frac{\cosh ^2x-\sinh ^2x}{\cosh ^2x}\,\,\left( \text{商的求导法则} \right)\\ &=\frac{1}{\cosh^2x}\ \left( 由\cosh^2x-\sinh^2x=1 可得\right)\\ \end{aligned} dxdtanhx=dxdcoshxsinhx=cosh2xcosh2x−sinh2x(商的求导法则)=cosh2x1 (由cosh2x−sinh2x=1可得)
常用基本初等函数的求导公式推导相关推荐
- 027 反三角函数的求导公式推导
027 反三角函数的求导公式推导
- 026 三角函数求导公式推导
026 三角函数求导公式推导
- 数学之美：常用的微分，求导和积分公式大总结
http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/52200140 微积分 直观地说,对于一个给定的正实值函数,在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面 ...
- 机器学习中最常用的矩阵/向量求导公式
文章目录 1 矩阵的迹 2 行列式的性质 3 向量相对于标量的导数与标量相对于向量的导数 4 矩阵相对于标量的导数与标量相对于矩阵的导数 5 函数f(x)对向量x的导数 6 向量和矩阵的导数满足乘法法 ...
- math_极限微分导数微商/对数函数的导函数推导(导数定义极限法)/指数函数求导公式推导(反函数求导法则/对数求导法)/导数表示法导数记号系统
文章目录 微分&导数&微商 函数在x=x0x=x_0x=x0导数的定义 导函数的定义 对数函数的导数推导(导数定义极限法) 导数与微分 对数函数的导函数 反函数求导法 对数求导法 导 ...
- 基本初等函数的求导公式
推导求导公式意即推出函数f(x) 在某区间内任何一点 x 处的导数, 即求出导函数f'(x) 1. (C)' = 0 (C是常数) 2. (u 是正整数) 3. (sinx)' = cosx ...
- 怎么求导来着？别费劲了，试试这个Python的通用求导法
今天的CSDN问答专栏里出现了一个实战中遇到的问题:现有两组数据,一组是时间序列,一组是对应时间序列的旋转角度,请问怎样计算某一时刻的角速度呢? 时间(s) 角度(°) 192 7.085 193 1 ...
- 机器之心最干的文章：机器学习中的矩阵、向量求导
作者:七月 本文的目标读者是想快速掌握矩阵.向量求导法则的学习者,主要面向矩阵.向量求导在机器学习中的应用.因此,本教程而非一份严格的数学教材,而是希望帮助读者尽快熟悉相关的求导方法并在实践中应用.另 ...
- 导数的四则运算和复合函数的求导
1. 常用初等函数的求导公式 2. 函数的四则运算求导简单可记为 3. 反函数求导法则 https://www.sohu.com/a/233597731_507476
- 【机器学习】线性回归之Normal Equation（矩阵求导与线性代数视角）
Normal Equation 之前我们用梯度下降来求解线性回归问题的最优参数,除此之外我们还可以用正规方程法(Normal Equation)来求解其最优参数. Normal Equation方法的 ...
最新文章
- 隐藏标准选择界面按钮
- IT部门的服务工作方式、工作内容有了彻底的改变——安徽移动通信有限责任公司...
- 前端预览word文件_[装机必备] QuickLook —— 敲击空格即可快速预览文件
- Linux文件句柄限制总结
- 基于 FFmpeg 的播放器 demo
- 来认识下less css
- dict字典，以及字典的一些基本应用
- 芒果 TV Redis 服务解决方案
- Asp.Net服务器控件添加OnClientClick属性绑定
- SAP GUI 760 下载
- HPU 图书馆占座 python
- matlab difittool,matlab工具箱下载安装和使用方法的汇总|Toolbox 大全
- 10秒！看清导数与微分的关系
- mysql广告投放查询_广告投放数据分析
- Shaolin - HDU 4585 - 树堆
- pc计算机属于第几代,i5 vPro是第几代？十一代vPro平台你了解吗？
- 【hive】hive如何将Jan 1, 2021 12:40:46 PM时间格式转换为指定格式
- 微信 进入公众号获取地理位置
- 【转】phpcms授课学习
- C语言实现模拟用户登录