小凯的疑惑（Noip 提高组 2017 d1 1）+[USACO4.1]麦香牛块Beef McNuggets

大家好，我很久都没来水题解了，昨天我们社团的考试中考了小凯的疑惑这道经典的数论题，但由于大家早已做过Noip2017所以直接拿出公式，一秒过题，但却不能证明，令我痛心，今天我就来写一篇题解，以浇胸中块垒，顺便也解一道Dp+数论。

小凯的疑惑+麦香牛块

简化题目：

小凯的题意大约为

有a,b大于0，gcd(a,b)=1（互质），求最大n，n $\neq$ an+bm，n和m $\geq$ 0。

乍一看以为很难，感觉参加的比赛等级不对，不过仔细看还是能做。

网上大部分的题解都是含糊不清的给个a*b-a-b不能被凑出来就Q.E.D了，我怎么看的下去，肯定得来推一推。

首先由于变量较多，先将式子简化，你会发现，如果単由一个数（假如a）凑不出来的数，如果取余a后的余数可以通过bm%a求出且这个数够大那么就可以凑出，那么我们就可以知道他到什么时候就一定能被凑出来了。

即:bm%a能凑出所以余数之后，那么这个数多大呢？

这里又涉及到一个规律，很好证明，不知道他叫什么。即：如果a和b互质，b*k%a的余数遍布0~a-1，每a个不重复，

首先用反证法证明S={0,a,2a,3a,⋯,(b−1)a}为模b的完全剩余系

如果存在ax≡ay(modb),1≤x,y≤b−1，则b|a(x−y)，由于a,b互质，b,(x−y)互质，矛盾,因此S模b的余数互不相同.

所以只要an+bm>=（a-1）*b就一定可以凑出，

接着想那最大不能凑出（就是凑不出最后一个凑出的余数）是什么啊

我们假设aq+p=(a-1)b。那么再减一个a（余数仍然为p）不就凑不出来了（他们互质）？

结果为ab-a-b；

Q.E.D

上代码：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define LL long long
#define M 100
#define Mod 2009
LL n,t;
int main(){scanf("%lld %lld",&n,&t);printf("%lld",n*t-n-t);
}

然后是麦香牛块这道题，确实200000000000是很大，但其实你也能发现还是ab-a-b;

由于每个牛块不大，才256最大256*255-255-256，随便背包水过去就好，

上代码

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int M=256*256-256;
void read(int &x)
{x=0;int f=1;char c=getchar();while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=0-f;c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}x*=f;return ;
}
bool dp[M+5];
int n,ans,a;
int main()
{read(n);dp[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++){read(a);for(int j=a;j<=M+1;j++)if(dp[j-a])dp[j]=1;}for(int i=0;i<=M+1;i++)if(!dp[i])ans=i;if(ans>M)ans=0;printf("%d",ans);
}

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