P2627 [USACO11OPEN]Mowing the Lawn G 题解(单调队列+dp)

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思路：dp
用一个dp数组存到i为止的最大功效\
根据题目描述不能让超过k个奶牛连续起来，那么第i个奶牛要么不取，要么从i-k枚举到i枚举以i为尾的连续的奶牛的所有情况，就可以得出状态转移方程
dp[i]=max((E[i]+E[i-1]+...+E[i-k]+dp[i-k-2]),(E[i]+E[i-1]+...+E[i-k+1]+dp[i-k-1]),...,(E[i]+dp[i-2]),dp[i-1])
看着n和k的数据范围，再看看状态转移方程，满篇都写着三个字TLE
那么，就要思考优化
显而易见的，可以用前缀和对状态转移方程进行优化，把求区间和的部分优化到O(1)；
这是优化后的状态转移方程（sum为前缀和数组）
dp[i]=max((sum[i]-sum[i-k-1]+dp[i-k-2]) , (sum[i]-sum[i-k]+dp[i-k-1])...(sum[i]-sum[i-1]+dp[i-2]),(sum[i]-sum[i]+dp[i-1]))
不难发现，sum[i]是固定的，变化的只有dp[j]-sum[j+1]，要dp[i]最大，只要dp[j]-sum[j+1]最大就行\
那么可以开一个单调队列，维护i到i-k区间内的dp[j]-sum[j+1]的最大值，这样对于dp[i]的求值就可以优化到O(1)；\
以下AC代码

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1000005;
long long a[N],sum[N],dp[N];//a储存原数组，sum储存前缀和（为啥不直接用原数组储存前缀和）
struct node{long long num,s;
};
long long ans=LONG_LONG_MIN,n,m;
deque<node> q;
int  main(){cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){ans=max(ans,a[i]);cin>>a[i];sum[i]=a[i]+sum[i-1];//求前缀和 }for(int i=0;i<=n;i++){if(q.front().num+m<i)q.pop_front();//判断队首是否可用 long long t=0;if(i>=1)t=dp[i-1]-sum[i];ans=max(ans,sum[i]+q.front().s);//防止自己加自己 while(q.size()){//维护单调队列 if(q.back().s<=t)q.pop_back();else break;}q.push_back((node){i,t});//入队 dp[i]=ans;//赋值（为啥不放上面） }cout<<ans;return 0;
}

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