前言

这是一个系列笔记，在理解图卷积神经网络的时候需要用到傅立叶变换，傅立叶变换的基础是傅立叶级数公式，而傅立叶级数公式中又包含欧拉公式，这篇文章是第二篇。

一、傅立叶级数的由来

数学家们猜测一些周期函数可以写成三角函数的和，即像图中表示的那样（黑色斜线：周期为2Π的函数；红色曲线：各个三角函数的和）。

而傅里叶则猜测任意周期函数都可以写成三角函数的和。

二、傅立叶级数公式

分析公式（即为什么周期函数可以写成三角函数的和呢？）：
1、常数项C，用来调整整体位置。
2、因为任意函数都可以分解为奇函数和偶函数之和，所以正弦、余弦函数是组成任意函数的基础，他们之间经过合理的加减组合，可以成为任意函数，必须有！

3、调整振幅（振幅是正弦、余弦函数前边的系数），为了使其尽可能的逼近原函数。
4、正弦、余弦函数内的系数是为了让他们周期为T，即所有三角函数的和组成的函数要与他们要逼近函数的周期相同。

三、频域和时域

有关于为什么要讲到频域和时域，是因为在后边详细推导傅立叶级数公式的时候会用到。

在上一个笔记里，我们讲到了欧拉公式：
传送门：傅立叶变换之（一）——欧拉公式

一看到这个，我们就应该想出来这么一幅图：
即欧拉公式代表的就是单位圆上的点。
我们把欧拉公式的虚部(也就是纵坐标)记录下来，得到的就是正弦函数。（欧拉公式整体看成是我们熟知的a+bi就可以了，虚部不就是对应欧拉公式中的正弦函数吗？）

同理，我们把实部（也就是横坐标）记录下来，就是余弦函数的曲线。

这两种看待欧拉公式的角度，一个可以观察到旋转的频率，所以称之为频域；另一种可以看到流逝的时间，所以称之为时域。

四、傅立叶级数公式的进一步求解

4-1、抛砖引玉

假设有函数：

根据上一点对频域和时域的讲解，这里我们把它转化到频域中去。
由欧拉公式eit=cos⁡(t)+isin⁡(t){\rm e}^{it}=\cos(t)+i \sin(t)eit=cos(t)+isin(t)可以得到：
eit+ei2t=（cos⁡(t)+cos⁡(2t)）+i（sin⁡(t)+sin⁡(2t)）{\rm e}^{it}+{\rm e}^{i2t}=（\cos(t)+\cos(2t)）+i（ \sin(t)+\sin(2t)） eit+ei2t=（cos(t)+cos(2t)）+i（sin(t)+sin(2t)）
即g(x)函数是 eit+ei2t{\rm e}^{it}+{\rm e}^{i2t}eit+ei2t 的虚部。

我们令:
G(t)=eit+ei2tG(t)= {\rm e}^{it}+{\rm e}^{i2t} G(t)=eit+ei2t
从线性代数的角度来说：G(t)G(t)G(t)是基eit{\rm e}^{it}eit和ei2t{\rm e}^{i2t}ei2t的线性组合。
注意：基是描述、刻画向量空间的基本工具。
接下来看如何求正交向量（基）中其中一个向量前边的系数：
假设有:
w⃗=2u⃗+3v⃗\vec{w} = 2\vec{u}+ 3\vec{v}w=2u+3v
其中u⃗=(−1,1)\vec{u}=(-1,1)u=(−1,1), v⃗=(1,1)\vec{v}=(1,1)v=(1,1)。
因为他们是正交向量，所以：
u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0u⋅v=0
结论一(只有正交基才使用)：
u⃗\vec{u}u的系数a可以计算为：
w⃗⋅u⃗u⃗⋅u⃗=2\frac{\vec{w} \cdot \vec{u}} {\vec{u} \cdot \vec{u}} = 2u⋅uw⋅u=2
同理：
v⃗\vec{v}v的系数b可以计算为：
w⃗⋅v⃗v⃗⋅v⃗=3\frac{\vec{w} \cdot \vec{v}} {\vec{v} \cdot \vec{v}} = 3v⋅vw⋅v=3
反推：
w⃗⋅u⃗=a⋅u⃗⋅u⃗\vec{w} \cdot \vec{u} = a \cdot \vec{u} \cdot \vec{u} w⋅u=a⋅u⋅u
(2u⃗+3v⃗)⋅u⃗=a⋅u⃗⋅u⃗(2\vec{u} +3\vec{v})\cdot \vec{u} = a \cdot \vec{u} \cdot \vec{u} (2u+3v)⋅u=a⋅u⋅u
因为他们是正交向量，所以乘积为0，等式成立。

os：先记住这个结论就好了，不要问那么多为什么，我是个数学渣渣能推到这已经很不容易了，先糊弄过去。

结论二(函数向量点积的定义)：

os：同样的先记住这个结论。

4-2、傅立叶级数公式进化

傅立叶级数公式可以写为：

也就是说f（x）的基为：

那么可以得到：

C也可以通过点积来表示：

参考文章：
如何理解傅立叶级数公式？
傅里叶系列（一）傅里叶级数的推导
Cmd Markdown 公式指导手册

总结

马上就下班了，今天的摸鱼就到此结束吧。

傅立叶变换之（二）—— 傅立叶级数相关推荐

《精通Matlab数字图像处理与识别》一6.2 傅立叶变换基础知识
本节书摘来自异步社区<精通Matlab数字图像处理与识别>一书中的第6章,第6.2节,作者张铮 , 倪红霞 , 苑春苗 , 杨立红,更多章节内容可以访问云栖社区"异步社区&qu ...
五、卷积与傅立叶变换
有些东西没有显示出来,相看的可以移步一.卷积 1.一维的卷积连续: 在泛函分析中,卷积是通过两个函数f(x)f(x)和g(x)g(x)生成第三个函数的一种算子,它代表的意义是:两个函数中的一个(我 ...
为什么要进行傅立叶变换？如何用Matlab实现快速傅立叶变换？
http://blog.sina.com.cn/s/blog_9015f32301014jbp.html 写在最前面:本文是我阅读了多篇相关文章后对它们进行分析重组整合而得,绝大部分内容非我所原创.在 ...
理解离散傅立叶变换（一）——傅立叶变换的由来
理解离散傅立叶变换(一) --傅立叶变换的由来关于傅立叶变换,无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述,但是大都是些故弄玄虚的文章,太过抽象,尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列,让 ...
边缘指示函数matlab,matlab图像处理——傅立叶变换边缘提取
第一部分图像的傅立叶变换一. 实验目的 1.了解图像变换的意义和手段: 2. 熟悉傅里叶变换的基本性质: 3. 熟练掌握FFT的方法及应用: 4. 通过实验了解二维频谱的分布特点: 5. 通过本实 ...
傅立叶变换数学推导
傅立叶变换笔记来源:b站:BV1St41117fH 1. 三角函数的正交性三角函数系:集合 { sin ⁡ n x cos ⁡ n x n = 0 , 1 , 2... \begin{cases} ...
傅立叶变换，时域，频域二
参考文献: 信号完整性分析 "信息传输调制和噪声"P31, "傅立叶变换的数学再认识"及若干网上博客. 目录信号分析方法概述时域频域 ...
如何理解傅立叶级数、傅立叶变换公式？
此前在另外一篇文章尝试给对傅立叶级数.傅立叶变换进行过稍微直观点的解释.本文会对公式进行细节的.代数上的解释. 1 对周期函数进行分解的猜想拉格朗日等数学家发现某些周期函数可以由三角函数的和来表示, ...
二维图像的傅立叶变换
摘要:二维图像的傅立叶变换,与一维傅立叶相比,在理解上要抽象很多.我在网上找了几篇相对较好的文章,并用matlab自己做了几个实验图像,希望能对大家理解二维图像的傅立叶变换有所帮助. 关键字:二维傅立 ...
c语言二维图像傅立叶变换,C语言数据结构算法之实现快速傅立叶变换.pdf
C语语言言数数据据结结构构算算法法之之实实现现快快速速傅傅立立叶叶变变换换 C语语言言数数据据结结构构算算法法之之实实现现快快速速傅傅立立叶叶变变换换本实例将实现二维快速傅立叶变换,同时也将借此实例 ...

傅立叶变换之（二）—— 傅立叶级数

目录

前言