四色定理已利用计算机证明,四色定理的一证明过程

图(3)

然后对此图作以下几个步骤的处理与分析：

第一步：在保持原图的所有点与连线的基础下，再将原图中尚未相连但却能够相连的各点两两之间尽可能多地连接起来，(应注意不再增加新的着色点，而仅仅增加连线)直至成为“三角剖分图”为止。由前面定理5可知这样处理之后新图的着色数不会比原图减少，这一步称之为“添线”。

第二步：任取图内某一个“圈内点”及围绕这点的“最小圈”进行分析。例如我们取的这个“圈内点”为V

，且在“添线”时我们已经连接了V 与V 及V 与V ，并且还连接了V 与V 及V

与V …已经把原图变成了一个“三角剖分图”这时V 的“最小圈”就是V —V

—V —V —V —V

。对于这个“局部图形”进行着色调整与分析。根据定理4，我们可以把V

的最小“点外圈”安排第一、第二、第三种颜色进行着色。把V

安排为第四种颜色进行着色。若然后再给所有“圈外的点”都着上颜色，由假设可知其“着色数”X(G)≧5，但由前面的“公理2”和“公理3”可知“圈内点”与“圈外点”不可能直达，故可以把V

这点的着色由原来安排的第四种颜色调整为第五种颜色，再由定义5可知若这时把V

这点连同V

直接相连的所有连线都去掉。这样做也并不会减少原图的“着色数”。(因为V

这点是被它的四周的“最小圈”阻断隔绝在圈内的，它与“圈外点”的着色是无关的。如果说这样做减少了原图的着色数，例如“着色数”从五减少为四，则说明原图的“着色数”本来就应该是四。)这一步称之为“去点”与“去线”。(这时的V

点是“着色可省略点”，而V

点既然已经去掉，则与它直接相连的各条线，也就自然没有存在的必要了。因为本文采用的是点着色的方法。)

第三步：反复对图中其它各“圈内点”作第一步的“添线”或第二步的“去点”与“去线”，(可交替或不交替地使用)直至对图中的任何一点来说都再也没有“圈内点”可去了为止。最终使它成为一个“三角剖分图”。因为“点”在一个又一个地减少，且“圈内点”与“圈外点”是相对而言的。所以最终的结果只能如图(1)或图(2)，即得到只有一个“圈”且圈内只有一个点的图(这时“圈内点”与“圈上点”相连)或一个只有“圈上点”的“三角剖分图”。但这时的“着色数”X(G)≤4。这显然与开始的假设X(G)≥5相矛盾，所以一开始的假设X(G)≥5是错误的。故在“球面”或“平面”上的着色数有X(G)≤4成立。证明完。

为了便于读者更好地理解这一证明，读者可以多自选一些图形，由简单到复杂，按照本文中所提供的方法(即证明中的三个步骤)进行反复试验和思考，便能够悟出本证明其中的无比奥妙和正确性。

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