Floyd’s Tortoise and Hare

Reference: Cycle detection

循环检测问题（Cycle detection）

假设有限集合S={0，1，2，4，5，6，7，8}，同时有函数f从集合S映射到集合S。如果从某X₀=2开始连续调用f，显然会生成一系列数值。

2，0，6，3，1，6，3，1，6，3，1 …

熟悉逻辑设计的同学可能会很眼熟，这个和有限状态机是一个道理，集合元素数目有限，从某个元素μ开始，序列会以周期λ循环，这里μ=2，λ=3。序列从0开始计数。当然这个起始点不一样，μ与λ可能是不同的。

循环检测就是在类似的问题中找出μ与λ。

CS中通常会碰到此类问题，获得某序列数据，比如说链表，希望在占用尽可能小的存储空间的条件下检测出该链表是否循环，得出μ与λ。
朴素的思想是沿着链表遍历，将途经结点地址保存下来，每加入一个结点进行一轮比较。在μ+λ次读写比较之后，如果该链表是循环的，则开始出现相同结点地址，可以显然判断μ与λ，但这样的算法空间复杂度是O(μ+λ)。对于这样一个问题，代价过高。

Floyd’s Tortoise and Hare算法是一个只需要使用两个指针的指针算法（pointer algorithm），通过两个前进速度不同的指针，类比伊索寓言中的龟兔，可完成以上任务。算法的实现相当简单，这也就意味着算法的设计相当精妙。本文主要就是致敬数学大佬们超凡的思维能力。

算法原理

存在某序列X_i，如果是循环的，对于所有i>μ，k>0，有X_i=X_i+kλ，这个不难理解，就是把循环的定义专业表达了一下。重点是下面。
那么存在k>0使得i=kλ>μ成立，即存在X_i=X_2i。

如果可以得到 i 的值，从头遍历链表通过判断if(x[j]==x[j+i])即可获知μ，由μ向后遍历比较即可得知λ。若是不存在X_i=X_2i，链表就已经结束，即可获知不循环。如何得知这个 i 是不难的，难的是我一下想不出这个数学原理。

首先为什么要用kλ来表示周期？我们通常使用最小周期λ。因为我们需要保证i>μ成立，所以必须放大周期！

为什么要找出X_i=X_2i 这个关系？因为这样我们可以用一个比较简单的办法找出 i !

可能我脑子不太好使，这些变换摆出来是看得懂，想的时候是完全没有方向。学数学那阵就最讨厌这变换那变换的了，也太需要灵性了吧。

算法实现

找两个指针tortoise（龟）和hare（兔），初始化指向链表头指针head;
兔指针前进两结点。如果还未完成就指向NULL，链表结束，无循环；
龟指针前进一结点。不需要空指针检测；
如果龟兔指针指向同一结点，则链表循环。否则返回2。

int ll_has_cycle(node *head) {node *tortoise, *hare;tortoise = head;hare = head;//Special case checkif (head == NULL)return 0;//Advance hare by two nodes
STEP2:if (hare->next == NULL)return 0;elsehare = hare->next;if (hare->next == NULL)return 0;elsehare = hare->next;//Advance tortoise by one nodetortoise = tortoise->next;if (tortoise == hare)return 1;elsegoto STEP2;
}

上面的实现易于理解，但不是一个好的实现，尽量避免goto的出现。

int ll_has_cycle(node *head) {node *tortoise, *hare;tortoise = head;hare = head;if (head == NULL)return 0;while (!(tortoise == hare)){//Advance hare by two nodesif (hare->next == NULL)return 0;elsehare = hare->next;if (hare->next == NULL)return 0;elsehare = hare->next;//Advance tortoise by one nodetortoise = tortoise->next;}return 1;
}

这个只检测了是否循环，主要是一个对于C语言指针的练习。

萌新博主，以后也许会更新一些关于RISC-V或者深度学习的相关体会，也许吧。。。