为什么定积分可以求面积？

1. 定积分是怎么定义的？

按照现在的语言就是∫abf(x)dx=∑f(x)dx\int_a^bf(x)dx=\sum f(x)dx∫abf(x)dx=∑f(x)dx，所以定积分最初是被定义成面积的。

2. 牛顿-莱布尼兹公式

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)∫abf(x)dx=F(b)−F(a)
定积分可以求面积，我们已经知道了，但是用于计算定积分的最出名的牛顿-莱布尼兹公式是怎么被牛顿、莱布尼兹发现的？

牛顿搞物理研究，就是喜欢求导数。

给位移求导数得到速度，给速度求导数得到加速度。

搞数学研究也这么搞，他想给面积求下导数：

接下来，我们对面积函数A(x)A(x)A(x)来求导：
A′(x)=dA(x)dx=A(x+dx)−A(x)dx=f(x)dxdx=f(x)A'(x)=\frac{dA(x)}{dx}=\frac{A(x+dx)-A(x)}{dx}=\frac{f(x)dx}{dx}=f(x)A′(x)=dxdA(x)=dxA(x+dx)−A(x)=dxf(x)dx=f(x)

所以牛顿得出结论，面积的导数就是曲线，曲线的原函数就是面积。

对牛顿-莱布尼兹公式，在这里给出一个直观的说明：

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为什么定积分可以求面积？

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