前言

　　矩阵AAA的LULULU分解是将矩阵A表示成一个下三角矩阵LLL和上三角矩阵UUU的乘积，即A=LUA=LUA=LU，这样的结构便于科学计算。

一、矩阵的LU分解(三角分解)定义

　　设矩阵AAA是m×nm \times nm×n阶矩阵；LLL是m×mm \times mm×m阶下三角矩阵，主对角元素为1；UUU是m×nm \times nm×n阶上三角矩阵。称LULULU为矩阵AAA的一个三角分解，有：
Am×n=[a11a12a13⋯a1na21a22a23⋯a2na31a32a33⋯a3n⋮⋮⋮⋱⋮am1am2am3⋯amn](1-1)\tag{1-1} A_{m\times n}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} &\cdots& a_{mn}\\ \end{bmatrix} Am×n=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡a11a21a31⋮am1a12a22a32⋮am2a13a23a33⋮am3⋯⋯⋯⋱⋯a1na2na3n⋮amn⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤(1-1)
Lm×m=[100⋯0l2110⋯0l31l321⋯0⋮⋮⋮⋱⋮lm1lm2lm3⋯1](1-2)\tag{1-2} L_{m\times m}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ l_{21} & 1 &0& \cdots & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 & \cdots & 0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ l_{m1} & l_{m2} & l_{m3} &\cdots&1\\ \end{bmatrix} Lm×m=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡1l21l31⋮lm101l32⋮lm2001⋮lm3⋯⋯⋯⋱⋯000⋮1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤(1-2)
Um×n=[u11u12u13⋯u1n0u22u23⋯u2n00u33⋯u3n⋮⋮⋮⋱⋮000⋯umn](1-3)\tag{1-3} U_{m\times n}=\begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} & \cdots & u_{1n} \\ 0 & u_{22} & u_{23} & \cdots & u_{2n} \\ 0 & 0& u_{33} & \cdots & u_{3n} \\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0 & 0 & 0 &\cdots& u_{mn}\\ \end{bmatrix} Um×n=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡u1100⋮0u12u220⋮0u13u23u33⋮0⋯⋯⋯⋱⋯u1nu2nu3n⋮umn⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤(1-3)
Am×n=Lm×mUm×n⇒[a11a12a13⋯a1na21a22a23⋯a2na31a32a33⋯a3n⋮⋮⋮⋱⋮am1am2am3⋯amn]=[u11u12u13⋯u1nl21u11l21u12+u22l21u13+u23⋯l21u1n+u2nl31u11l31u12+l32u22l31u13+l32u23+u33⋯l31u1n+l32u2n+u3n⋮⋮⋮⋱⋮lm1u11lm1u12+lm2u22lm1u13+lm2u23+lm3u33⋯lm1u1n+lm2u2n+⋯+lm,m−1um−1,n+umn]A_{m\times n}=L_{m\times m}U_{m\times n} \begin{aligned} \Rightarrow \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} &\cdots& a_{mn}\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} & \cdots & u_{1n} \\ l_{21}u_{11} & l_{21}u_{12}+u_{22} & l_{21}u_{13}+u_{23} & \cdots & l_{21}u_{1n}+u_{2n} \\ l_{31}u_{11} & l_{31}u_{12}+l_{32}u_{22} & l_{31}u_{13}+l_{32}u_{23}+u_{33} & \cdots & l_{31}u_{1n}+l_{32}u_{2n}+u_{3n} \\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ l_{m1}u_{11} & l_{m1}u_{12}+l_{m2}u_{22} & l_{m1}u_{13}+l_{m2}u_{23}+l_{m3}u_{33} &\cdots&l_{m1}u_{1n}+l_{m2}u_{2n}+\cdots+l_{m,m-1}u_{m-1,n}+u_{mn}\\ \end{bmatrix} \end{aligned} Am×n=Lm×mUm×n⇒⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡a11a21a31⋮am1a12a22a32⋮am2a13a23a33⋮am3⋯⋯⋯⋱⋯a1na2na3n⋮amn⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡u11l21u11l31u11⋮lm1u11u12l21u12+u22l31u12+l32u22⋮lm1u12+lm2u22u13l21u13+u23l31u13+l32u23+u33⋮lm1u13+lm2u23+lm3u33⋯⋯⋯⋱⋯u1nl21u1n+u2nl31u1n+l32u2n+u3n⋮lm1u1n+lm2u2n+⋯+lm,m−1um−1,n+umn⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
　　由上式，比较矩阵AAA和LULULU中的各项，可以得出通项：
aij={uijj=1,i=1,2,⋯,m∑k=1i−1likukj+uiji≤j,i=2,3,⋯m,j=i,i+1,⋯,n∑k=1j−1likukji>j,j=2,3,⋯,n,i=j+1,⋯,m(1-5)a_{ij}= \begin{cases} u_{ij} & j=1,i=1,2,\cdots,m\\ \sum_{k=1}^{i-1} l_{ik}u_{kj}+u_{ij}&i \leq j,i=2,3,\cdots m,j=i,i+1,\cdots,n\\ \sum_{k=1}^{j-1}l_{ik}u_{kj} & i>j,j=2,3,\cdots,n,i=j+1,\cdots,m \end{cases} \tag{1-5} aij=⎩⎪⎨⎪⎧uij∑k=1i−1likukj+uij∑k=1j−1likukjj=1,i=1,2,⋯,mi≤j,i=2,3,⋯m,j=i,i+1,⋯,ni>j,j=2,3,⋯,n,i=j+1,⋯,m(1-5)
　　可以求得上三角矩阵Um×nU_{m \times n}Um×n的表达式为：
uij={aij−∑k=1i−1likukji≤j0i>j(1-6)u_{ij}=\begin{cases} a_{ij}-\sum_{k=1}^{i-1} l_{ik}u_{kj} &i \leq j \\ 0 & i>j \end{cases} \tag{1-6} uij={aij−∑k=1i−1likukj0i≤ji>j(1-6)
　　同理，可以求得下三角矩阵Lm×mL_{m \times m}Lm×m的表达式为：
lij={0i<j1i=j(aij−∑k=1j−1likukj)/ujji>j(1-7)l_{ij}=\begin{cases} 0 &i<j \\ 1 & i=j \\ (a_{ij}-\sum_{k=1}^{j-1} l_{ik}u_{kj} )/u_{jj}& i>j \end{cases} \tag{1-7} lij=⎩⎪⎨⎪⎧01(aij−∑k=1j−1likukj)/ujji<ji=ji>j(1-7)
　　从LLL的表达式(1-7)可以看出，当ujj=0u_{jj}=0ujj=0时，递推表达式产生了问题。返回表达式(1-4),这时候不难看出，当ujj=0u_{jj}=0ujj=0时，lijl_{ij}lij可以为任意值,等式恒成立。为了简化计算，当ujj=0u_{jj}=0ujj=0时，取lij=0(i>j）l_{ij}=0(i>j）lij=0(i>j）。
　　当矩阵AAA的各阶主子式det(Ak)=det(A(1:k,1:k)),k=1,2,⋯,mdet(A_{k})=det(A(1:k,1:k)),k=1,2,\cdots ,mdet(Ak)=det(A(1:k,1:k)),k=1,2,⋯,m不为0时，LULULU分解式唯一；当矩阵AAA的kkk阶主子式为000时，LULULU分解式有无数个。通常在实际应用中，我们只需要一组LULULU分解式，为了简化计算，本文中，当ujj=0u_{jj}=0ujj=0时，取lij=0(i>j)l_{ij}=0(i>j)lij=0(i>j)。
　　当然了，当ujj=0u_{jj}=0ujj=0时，我们也可以通过对矩阵AAA进行初等行交换，使其各阶主子式不为000。上述过程相当于对矩阵左乘一个置换矩阵，来找到一组LULULU分解式，即PA=LUPA=LUPA=LU，PPP为一置换矩阵，此为MATLAB中的做法（函数lu）。
　　LULULU分解的更多信息参考：https://en.wikipedia.org/wiki/LU_decomposition#Closed_formula

二、LU分解实现

1.matlab代码

function [L,U] = lu_decompose(A)
%   lu decompose
%   L:下三角矩阵
%   U:上三角矩阵
%   A:输入矩阵
[m,n]=size(A);L=eye(m);
L(:,1)=A(:,1)/A(1,1);%L第一列赋值U=zeros(m,n);
U(1,:)=A(1,:);%U第一行赋值for i=2:mfor j=2:nif i<=jU(i,j)=A(i,j)-sum(L(i,1:i-1).*U(1:i-1,j)');%递推表达式(1-6)elseif U(j,j)==0L(i,j)=0;elseL(i,j)=(A(i,j)-sum(L(i,1:j-1).*U(1:j-1,j)'))/U(j,j);%递推表达式(1-7)endendend
endend

2.数据验证

>> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];
>> [L,U,P]=lu(A)
L =1              0              0       1/7            1              0       4/7            1/2            1
U =7              8              9       0              6/7           12/7     0              0              0
P =0              0              1       1              0              0       0              1              0
>> [L1,U1]=lu_decompose(A)
L1 =1     0     04     1     07     2     1
U1 =1     2     30    -3    -60     0     0
>> [L1,U1]=lu_decompose(P*A)
L1 =1              0              0       1/7            1              0       4/7            1/2            1
U1 =7              8              9       0              6/7           12/7     0              0              0

总结

　　从矩阵的乘积的性质出发的得到上三角矩阵和下三角矩阵的表达式，并考虑上三角矩阵主对角元素为0的情况下上三角矩阵和下三角矩阵的表达式。

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本图文详细介绍了Matlab中有关矩阵LU分解的操作.

矩阵的LU分解——MATLAB实现

文章目录

前言

一、矩阵的LU分解(三角分解)定义

二、LU分解实现

1.matlab代码

2.数据验证

总结

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