拼接、比较与计算——哥德尔读后之十四

除了喧嚣、闹腾、莫名的亢奋和同样莫名的浮夸，我用心灵体验的那个客体空间，好像容不下哪怕是一粒沙子和些许浮尘。那个空间真是太太纯粹了，纯粹得可以看清其中的点点滴滴。我在这样的纯粹面前，把自己也看得清清楚楚。你接受不了这样的纯粹，因为阳光之下也有阴影。自然，你就只能是这个纯粹空间晦暗阴影中的一尊幽灵。不过，魔鬼为人们关上了很多门，天使也为人们开启了很多窗。天网恢恢，疏而有漏，人无魔助之时，常有自助之路。既有字符之可思，也有经典之可读。也许，遵从自我的呼唤，读你所读，思你所思，写你所写，知你所知，那才是顺应自然的人生。
继续读哥德尔吧。

一、接续哥德尔的定义15，关注其中定义15的拼接join together，回顾定义8

1、定义15：x Gen y≡(Rx) * R(9) * E(y)

这是一个概括化的定义，x Gen y指称的是变元x导致了y的概括化。什么意思呢？就是一旦给定了变元x，它就适用于所有的y。这种概括的特性是通过星号来表现的，*号，自然语言解释为“连结”（join together）。早年看康先生《可能世界的逻辑》，将这个连接翻译为“拼接”，重新翻读康著，觉得很传神，的确是字符序列与字符序列的拼接。
哥德尔原著的算法模式，依康先生所言，除代入之外，用处最大的主要有三。一为求序列第i项元素的项位匹配算子，这是哥德尔定义6给出的。二为序列长度运算子，哥德尔的定义7就是这个长度算子的定义。运算模式的第三种，就是这个拼接。什么是y借助变元x而实现概括化呢？你理解了拼接的要素，这个定义就应该读而有得了。回头细看原著，哥德尔使用这个拼接算法的地方还真不少，定义8定义了这个拼接，然后就一直到定义40，都间或有这个运算符的使用。统计起来，记有10处定义，用到这个符号。值得在这里再对定义8，也就是拼接算子的定义做一点回顾。
还是先从定义15开始，要理解这个定义，大致要做以下几点说明。
1）定义15的左式x Gen y，可以用全称量词来表述为x（y），在1962年译本中，使用的是一个怪怪的符号Ц来表示全称，变元x使得y概括化就表述为：x.Цy。而在2000年译本中，这个定义的左式表示为：
forall（x,y)。
其实这个y好像也不合适，当x作为变元时，说它适合于所有的y，这个y好像不是变元而是常元了。这个差异，我似乎也说不清楚，暂且存疑吧。

2）定义15的右式：(Rx) * R(9) * E(y)
右式用了两个拼接符号*，1962译本哥德尔于定义8定义的就是这个符号。公式xy对应拼接joining together运算，这个运算符号表示两个有限序列的拼接。2000年译本则用seq取代R,用○号取代号，右式就成为：
seq(9)○seq(x)○paren(y)。

这样的右式，显然比老译本的右式更为明了。一看就能够直观地感觉到，拼接是有关序列的拼接。

2、重温定义8

定义8.x ○ y≡argmin(z)(z≤(Pr(len(x)+len(y))x+y∧
(n)(n≤len(x)→((term(n,z)=term(n,x))∧
(n)(0≤len(y)→((term(n+len(x),z)=term(n,y))

其中的x ○ y表示：两个有穷数字序列连接在一起，类似于加在一起，有算术加与逻辑合取的味道，但也不全是。1962译本使用号，但星号已经在哥原本中作为乘法符号，使用2000年译本的○取代*号是恰当的。
这个定义中的拼接算子○，如何理解才到位呢？
这两个有穷序列拼接运算的结果，是一个长长的表达式，由定义8的右式表达出来。这个定义8的右式又由三个合取的部分构成，先分开来看其中的每一个部分。
第一部分：argmin(z)(z≤(Pr(len(x)+len(y))x+y∧
这个部分表示，那个最小的数z，满足三个合取的第一个条件，这个条件之下又嵌套几层子条件。限于篇幅，这里仅就其最上层条件做点分析。
这个最小数z≤某个素数，而这个素数又有点复杂。它至少分两个步骤构成，先是得出序列x与序列y字符长度相加之后所形成数字中的第n个素数。然后取这个素数的序列x与序列y本身数字和作为该素数的幂。

第二部分：(n)(n≤len(x)→((term(n,z)=term(n,x))∧
为定义拼接，引入了定义5“是素数”和定义7“序列长度”。第二部分继续引入在前定义6的“词项”定义，让那第n个素数的n概括化，所有属于n的数需满足一个蕴涵式的条件。也就是，对于所有的n而言，要满足这样一个蕴涵式所规定的条件：如果n≤序列x字符长度的话，那么序列z的第n个词项得等于序列x的第n个词项。

第三部分：(n)(0≤len(y)→((term(n+len(x),z)=term(n,y))
第二部分是相关于序列z与x的数字n的概括化，这个概括化延伸到第三部分。也是所有属于n的数需满足一个蕴涵式的条件。但稍有变化：对于所有的n而言，要满足以下蕴涵式所规定的条件：如果0≤序列y字符长度的话，那么词项顺序排在这样位置上的数，即n数加上序列z的x字符长度数的位置上的词项数字，得等于序列y的第n个词项。

3、一点感悟

这的确有点绕，但好像也透露出一点理解哥德尔数的线索了。我们来设想一下，这个公式中的两个序列。
很显然，这个定义8中的左式，是两个正整数有穷序列。
序列x=s0,s,s2…sn；
序列y=t0,t1,t2…tm；
通过拼接运算模式形成了另一个序列z，自然也是一个有穷序列。
序列z=s0,s,s2…sn○t0,t1,t2…tm；

这里的x，y，z其实可以看作是以上三个序列各自的哥德尔数，因为一个P公式的证明就是一个序列。按照哥德尔的符号约定，我们可以用自然数来替代这些已知序列x与y，然后再利用哥德尔给出的拼接等等运算子，来求出那个未知的哥德尔数z。而这个拼接运算在执行的过程中，又不过是运用在前的序列长度运算len，和在前的求序列运算第某个项的term而已，当然也用到了在前的其它一些定义。
似乎在哥德尔的原著中看到有那么一点特异的，有点像计算机算法中的某种东西。
前辈智者的智慧似乎在今天这个非常特殊的氛围之中，到处都在受到有点胡搅蛮缠的学半式挑战，一种离科学很远，却与玄学很亲的挑战。似乎你掌握了某个玄学门道，你就拿到了金钥匙似的。看哥德尔，这个感觉似乎更加强烈。
还是按照跟读原著的思路，已经有了两个译本的定义比较之1，之2，就把这个比较延续下去吧。

二、1962年译本与2000年译本定义15-30的比较图表3与4

表3：15-21

表4：22-30

三、定义15-30的简略陈述

定义15.
forall(x, y) = seq(9) ○ seq(x) ○ paren(y)

这个定义在前说了很多,但没有解释那个paren指的是什么。62年译本用E来修饰字符y，标为E(y)。这个E不是指称存在，而是德文字符“括号”（Einklammern）的首字母。定义10给出了括号的操作，同样是使用“拼接”运算来解释哥德尔证明中的括号运算。而paren则是英文括号的缩写。由此，这个全称概括化定义中的paren(y)，也就是给拼接结果两旁加上括号，也就是哥德尔数字11和13所代表的符号。而seq(9)则是给这个结果加上全称量词，也就是，其哥德尔数为9。

定义16.
succ_n(0,x) =x
succ_n(n +1, x) = seq(3)○ succ_n(n, x)

这个定义是计算x的第n个后继（succ)数的算法定义，succ_n(0,x) =x对应于这样的运算：在字符x之前有多少个表示后继的符号’f’，哥德尔用f的个数来表示后继数，在皮亚诺的算术系统中用单引号来表示。这里使用2000年译本表述如上，显然，如果n=0，自然就是x自身，succ_n(0,x) =x。
而当n逐个递加时，定义右式也是使用拼接算子来表述。Seq(3)表示由后继符号f构成的序列，因为f约定的素数是3。很显然，拼接后构成了n+1个f组合成的序列。

定义17.
number(n) = succ(n, seq(1))

这个定义17规定了对于数字n的表述方式，seq(1)对应的符号是0，所以，数字n是0之后的第n个后继。

定义18.
isNumType(x)⇔ m, n≤x∧(m=1 ∨ isVarType(1,m))∧x=succ_n(n,seq(m))

哥德尔把由纯粹数字，即a,fa,ffa…等构成的符号合成，称作第一类型的符号（a sign of first type)。这个定义18用等价符号来说明这个符号类型，我用isNumType(x)来表达这个被定义项。字面上就说明了这个类型属于数字类型，也就是哥德尔的第一类型。定义表达的是：x属于第一类型符号，当且仅当以下三点都成立，其中第2）点，涉及到有关变元类型的哥德尔定义11，其中第3）点，则涉及到有关后继的定义16。
1）有数字m+≤x并且n≤x；
2）或者m=1或者m为第一类型变元；
3）x对应于序列m的第n个后继。

定义19.
isNthType(n,x)≡(n=1∧isNumType1(x))∨(n>1∧(v)((v≤x∧(isVarType(n,v)∧x=seq(v))

这个定义则是对于第n个类型符号的定义，被定义项成立，当且仅当满足以下析取式中的一种情形。在第2）点中，还需使v存在满足合取式所列的三条件。
1）或者是：n=1并且x属于第一类型符号；
2）或者是：n>1，并且有变元v存在。这个v存在，得同时满足合取式v≤x并且v是第变元类型符号，并且x等于序列v。

定义20.
isEleForm(x)≡(y,z,n)((y,z,n≤x))∧((isNthType(n,y))∧((isNthType(n+1,z))∧((x=(z ○ paren(y)))

这个定义告诉我们，x是一个初等公式是什么意思。德文的“初等公式”为长长字符elementarformet，1962年译本取其缩写elf表示这个初等公式，2000年译本取英文初等头两个字符，公式formula中两个字符表示为elfm，但还是使用计算机语言的常规表达方式，直接用可理解的英文来表示为佳，故成上式。
这样，这个x为初等公式意味着什么，就可以粗略解释为，有这样的y、z、n客体存在，它满足以下四个条件。
1）客体y，z，n小于等于x；
2）y是第n个类型的成员；
3）z是第n+1个类型的成员；
4）x是客体z和包括在括号中的客体y的拼接。

定义21.
isOp(x,y,z) ≡ (x=not(y)) ∨ (x=or(y,z))∨(v≤x.isVar(v) ∧ x=forall(v,y))

这个定义是有关运算符号的，德文和英文的运算都是opreation，取其头两个字符op表示运算，但依然是使用计算机语言或者逻辑谓词表示法更容易理解，便成为以上表达式。
这里的意思好像还比较明白，说一个字符客体是否是运算表达式，那就是看这个字符客体是否是下述表达式中的一个。
1）或者客体x含有否定；
2）或者客体x含有或者；
3）或者客体x含有全称量词，而全称和存在量词是互为定义的。

定义22.
isFormSeq(x)≡(n)(((0<n≤length(x)→((isEleForm(item)(n,x))∨(p,q)(0<p,q<n)∧isOp(item(n,x),item(p,x),item(q,x)))∧length(x)>0

这个定义是有关公式序列符号的，德文公式序列Reihe von formeln，英文的公式序列是formula sequence，可以取其部分字符表示运算，但依然是使用计算机语言或者逻辑谓词表示法更容易理解，便成为以上表达式。
所以，一个客体x属于公式序列，那就表明，这个公式序列中的每一个公式，或者是一个初等公式，或者是从在前公式通过否定、析取和概括化而获得的公式。

定义23.
isForm(x)≡(((nthPrime(length(x)2))x+(length(x)2∧((isFormSeq(n))∧((x=term(length(n），n)))

定义20给出了初等公式的定义，随后在定义22给出了公式序列的定义，这里给出的是公式的定义。而按照哥德尔给这个定义所做的注释，这个定义的客体x，是一个公式序列n中的最后一个公式。客体x需要满足的三个条件，其中的第三个条件表述的，就是哥德尔注释的含义。

定义24.
isBound(v,n,x)≡(isVar(v))∧(isForm(x))∧(a,b,c)((a,b,c)≤x))∧((x=(a○forall(v,b)○c))∧(isForm(b))∧(length(a)+1≤n≤length(a)+length(forall(v,b))

1962年译本使用德语gebunden，缩略语为Geb，为英文bound之意。2000年译本使用谓词形式来说明这个定义。isBound(v,n,x)字符，表示变元v在变元x的第n个位置上受约束。长长的定义字符显示条件众多，是由六个合取支构成的一个复合公式。

定义25.
isFree(v,n,x)≡isVar(v)∧isForm(x)∧v=term(n,x)∧n≤length(x)∧isBound(v,n,x)

定义25是与24相对应的一个定义，在前定义变元的约束bound，接之就定义变元的自由free。定义模式简单很多，但依然是一个合取式公式，解释模式很是相同。1962年译本给出的注释，isFree(v,n,x)字符，表示变元v在x中的第n个位置是自由的。

定义26.
isFree(v,x)≡(n)((n≤length(x)∧isFree(v,n,x))

定义26给出了自由变元出现的另一种方式。

定义27.
Subst(x,n,y)≡argmin(z)(z≤(nthPrime(length(x)+length(y)))x+y
∧((u,v)((u,v)≤x))∧(x=(u○seq(term(n,x)○v))∧(z=(u○y○v))∧(n=length(u)+1))

1962年译本定义27中的subst为德语substitution缩略语，与英语同字符。这个定义告知我们，在0≤n≤length(x)的条件下，用y替换（subst）x的第n个词项后所获得的表达式。这个表达式满足的条件似乎更复杂，容全部定义列完后再议。

定义28.
freePlace(o,v,x)≡argmin(n)( n≤length(x)∧isFree(v,n,x)∧n<p≤length(x).free(v,p,x)
freePlace(k+1,v,x)≡argmin n<freePlace(n,k,v).free(v,n,x)∧n<p<
freePlace(n,k,v).free(v,p,x)

1962年译本定义28中的St，为德语stelle的缩略语，英文含义为place，所以2000年译本引入freeplace，以表示在某个位置上的变元是自由的free。由此，定义28 的左式，即被定义项freePlace(o,v,x)给我们提示的含义，依哥德尔的解释，可以理解为：从公式x的末端开始计数，x之中的第k+1个位置。在此位置上，变元v在x中是自由的。如果这个位置不存在，则为0。

定义29.
freePlaceNum(v,x)=argmin n≤length(x).
freePlaceNum(n,v,x)=0

这个定义，意图给出在x中v作为自由变元会有多少个位置，似乎是有点奇怪的定义对象。这种怪异在其它定义中也有，比如那个从尾部计数的定义28，何以要从末端来倒计数呢？这些谜一般的定义对象，既承载着阅读的艰难，也给我们的阅读带来期盼。

定义30.
Subst’(0,x,v,y)=x
Subst’(k+1,x,v,y)=insert(Subst’(k,x,v,y),freePlace(k,v,x),y)

到定义30了，从篇章疏密的需要，随意地做出了将40多个定义三分的安排。现在，这一篇的末端就在面前，我们来看看这个定义30说了些什么。初步理解，这里的Subst’表示的是另一种替换，所以在subst后加上一个单引号’。在哥德尔的1962年译本中，这两个替换subst是用两个不同的表达替换的德语分别表示的，一个是Sb，另一个是Su，都是中文替换的含义。那个Su，就是前述定义27中的subst。