《算法图解》-9动态规划背包问题，行程最优化

本文属于《算法图解》系列。学习动态规划，这是一种解决棘手问题的方法，它将问题分成小问题，并先着手解决这些小问题。

一背包问题

背包问题，在可装物品有限的前提下，尽量装价值最大的物品，如果物品数量足够大，简单的暴力穷举法是不可行的O(2ⁿ)，前一章介绍了《贪婪算法》就是解决如何找到近似解，这接近最优解，但可能不是最优解。如何找到最优解呢？就是动态规划算法。动态规划先解决子问题，再逐步解决大问题。

每个动态规划算法都从一个网格开始，背包问题的网格如下。

网格的各行为商品，各列为不同容量（1～4磅）的背包。所有这些列你都需要，因为它们将帮助你计算子背包的价值。网格最初是空的。你将填充其中的每个单元格，网格填满后，就找到了问题的答案。

1 吉他行

这是第一行，只有吉他可供你选择。第一个单元格表示背包的容量为1磅。吉他的重量也是1磅，这意味着它能装入背包！因此这个单元格包含吉他，价值为1500美元。来看下一个单元格。这个单元格表示背包的容量为2磅，完全能够装下吉他！以此类推。

你知道这不是最终的解。随着算法往下执行，你将逐步修改最大价值。

2 音响行

可选的有吉他和音响。在每一行，可选的商品都为当前行的商品以及之前各行的商品。

背包的容量为1磅，能装下音响吗？音响太重了，装不下！由于容量1磅的背包装不下音响，因此最大价值依然是1500美元。接下来的两个单元格的情况与此相同，背包容量为4磅呢？终于能够装下音响了！

3 笔记本电脑行

下面以同样的方式处理笔记本电脑。笔记本电脑重3磅，没法将其装入容量为1磅或2磅的背包，因此前两个单元格的最大价值还是1500美元。对于容量为3磅的背包，可选笔记本电脑而不是吉他，这样新的最大价值将为2000美元！

对于容量为4磅的背包，情况很有趣。这是非常重要的部分。当前的最大价值为3000美元，选择笔记本电脑2000美元，还有1磅空间没用使用。根据之前计算的最大价值可知，在1磅的容量中可装入吉他，价值1500美元。因此，你需要做如下比较。

为何计算小背包可装入的商品的最大价值呢？因为余下了空间时，你可根据这些子问题的答案来确定余下的空间可装入哪些商品。笔记本电脑和吉他的总价值为3500美元，最终的网格类似于下面这样。

你可能认为，计算最后一个单元格的价值时，我使用了不同的公式。那是因为填充之前的单元格时，我故意避开了一些复杂的因素。其实，计算每个单元格的价值时，使用的公式都相同。这个公式如下。

你可以使用这个公式来计算每个单元格的价值，最终的网格将与前一个网格相同。现在你明白了为何要求解子问题吧？你可以合并两个子问题的解来得到更大问题的解。

二背包问题FAQ

2.1 再加一件商品如何

假设你还选择一件商品：iPhone

此时需要重新执行前面所做的计算吗？不需要。别忘了，动态规划逐步计算最大价值。

沿着一列往下走时，最大价值有可能降低吗？

答案：不可能。每次迭代时，你都存储当前的最大价值。最大价值不可能比以前低！

练习：假设你还可以选择——MP3播放器，它重1磅，价值1000美元。你会选择吗？

不会。

2.2 行的排列顺序发生变化时结果将如何

假设你按如下顺序填充各行：音响、笔记本电脑、吉他。网格将会是什么样的？请自己动手填充这个网格，再接着往下读。

答案没有变化。也就是说，各行的排列顺序无关紧要。

2.3 可以逐列而不是逐行填充网格吗

自己动手试试吧！

这里推荐一个网站：http://karaffeltut.com/NEWKaraffeltutCom/Knapsack/knapsack.html

2.4 增加一件更小的商品将如何呢

需要重新调整网格，计算的单位更新如（0.5）。可以自己动手验证下。

2.5 可以选择部分商品吗

如果想这种情况下.只装商品的一部分。如何使用动态规划来处理这种情形呢？

答案是没法处理。使用动态规划时，要么考虑拿走整件商品，要么考虑不拿，而没法判断该不该拿走商品的一部分。

但使用贪婪算法可轻松地处理这种情况！首先，尽可能多地拿价值最高的商品；如果拿光了，再尽可能多地拿价值次高的商品，以此类推。

2.6 旅游行程最优化

假设你要去伦敦度假，假期两天，但你想去游览的地方很多。你没法前往每个地方游览，因此你列个单子。

这也是一个背包问题！但约束条件不是背包的容量，而是有限的时间；不是决定该装入哪些商品，而是决定该去游览哪些名胜。请根据这个清单绘制动态规划网格。

当我在纸上画这个网格，逐个元素去填值计算的时候，边上的土豪QA妹子，应该不应这么纠结，多待两天都逛完了。可见钱能解决90%的问题。

2.7 处理相互依赖的情况

假设你还想去巴黎，因此在前述清单中又添加了几项。

去这些地方游览需要很长时间，因为你先得从伦敦前往巴黎，这需要半天时间。如果这3个地方都去玩，是不是要4.5天呢？

不是的，因为不是去每个地方都得先从伦敦到巴黎。到达巴黎后，每个地方都只需1天时间。

因此玩这3个地方需要的总时间为3.5天（半天从伦敦到巴黎，每个地方1天），而不是4.5天。

将埃菲尔铁塔加入“背包”后，卢浮宫将更“便宜”：只要1天时间，而不是1.5天。如何使用动态规划对这种情况建模呢？

没办法建模。动态规划功能强大，它能够解决子问题并使用这些答案来解决大问题。但仅当 每个子问题都是离散的，即不依赖于其他子问题时，动态规划才管用。

2.8 计算最终的解时会涉及两个以上的子背包吗

但根据动态规划算法的设计，最多只需合并两个子背包，即根本不会涉及两个以上的子背包。不过这些子背包可能又包含子背包。

2.9 最优解可能导致背包没装满吗

完全可能，假设你选了一个3.5磅的钻石。

练习：

假设你要去野营。你有一个容量为6磅的背包，需要决定该携带下面的哪些东西。其中每样东西都有相应的价值，价值越大意味着越重要：

我推导的结果：水+食物+相机=25

最后附上一版本Java解决背包问题。

/*** * @author bohu83* @2019-06-11*/
public class FindMaxTest {static String[] names= {"","sound","laptop","guita","phone"};static int[] w = {0,4, 3, 1,1 };//重量static int[] v = {0,3000,2000,1500,2000}; //价值//包按照4磅重量算static int[][] b = new int[5][5];public static void main(String[] args) {//一 先填充数据//遍历行：物品for (int i = 1; i <= 4; i++) {//遍历列：重量for (int j = 1; j <= 4; j++) {//装不进if ( j< w[i] ) {b[i][j] = b[i - 1][j];                } else {//能装                  int value1 = v[i] + b[i - 1][j - w[i]]  ; //当前商品的价值+剩余空间的价值int value2 = b[i - 1][j]; // 上一单元格值b[i][j] = Math.max(value1, value2);                    }}}System.out.println("value:"+b[4][4]);findMax(4,4);}/*** 寻找最大值对应的物品* @param i* @param j*/public static void findMax(int i,int j){if(i>0){if(b[i][j]== b[i-1][j]){         System.out.println("not choose :"+names[i]+",value="+v[i]);findMax(i-1,j);}else if( b[i][j]==(v[i] + b[i - 1][j - w[i]]) ){          System.out.println("choose :"+names[i]+",value="+v[i]);findMax(i-1,j-w[i]);}}}}

运行结果：

背包问题已经解决，利用动态规划解决此问题的效率即是填写此张表的效率，所以动态规划的时间效率为O(number*capacity)=O(n*c)，由于用到二维数组存储子问题的解，所以动态规划的空间效率为O(n*c)。

注意下一些代码细节，例子画的网格图是为了便于理解，实际demo Java取的数组是从0开始的。所以数组的比图上的网格多加了一行，一列的0 的数组，无实际意义，纯粹为了填空格使用。还有网上有优化算法，二维数组转一维数组，只为了求值优化，但是不能找到最优组合选择的元素。感兴趣的可以试验下。

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