概率论：概率空间的基本概念

本文用 加粗斜体 表示定义。

概率空间 是一个三元组 (Ω,F,P)(\Omega, {\mathcal F}, P )(Ω,F,P)，其中
Ω\OmegaΩ是结果集合(Outcomes Set)，
F{\mathcal F}F是事件集合(Events Set, a collection of subsets of Ω\OmegaΩ)，
PPP是事件到概率的映射函数P:F→[0,1]P: {\mathcal F} \to [0, 1]P:F→[0,1]。

假设F{\mathcal F}F是 σ\sigmaσ-域(σ\sigmaσ-field or σ\sigmaσ-algebra)，那么F{\mathcal F}F满足如下条件：
(i) 如果A∈FA \in {\mathcal F}A∈F，那么Ac∈FA^c \in {\mathcal F}Ac∈F
(ii) 如果Ai∈FA_i \in {\mathcal F}Ai∈F 是可数序列集合 (a countable sequence of sets)，那么∪iAi∈F\cup_i{A_i}\in {\mathcal F}∪iAi∈F。

可数(countable) 表示有限或可数无穷。

(Ω,F)(\Omega, {\mathcal F})(Ω,F)称为 测度空间 (measurable space)，可在此空间上进行测度。

测度 (measure) 是非负可数可加集合函数，即μ:F→R\mu: {\mathcal F} \to {\bf R}μ:F→R，且
(i) 对于∀A∈F\forall A \in {\mathcal F}∀A∈F，有μ(A)≥μ(∅)=0\mu(A) \ge \mu(\emptyset) = 0μ(A)≥μ(∅)=0；
(ii) 如果Ai∈FA_i \in {\mathcal F}Ai∈F 是可数序列离散集合 (disjoint sets)，那么有μ(∪iAi)=∑iμ(Ai)\mu(\cup_iA_i) = \sum_i{\mu(A_i)}μ(∪iAi)=∑iμ(Ai)。
如果μ(Ω)=1\mu(\Omega) = 1μ(Ω)=1，那么μ\muμ称为 概率测度 (probability measure)，通常概率测度表示为PPP。

参考文献
[1] Durrett, R. “Probability Theory and Examples Belmont CA.” cambridge u press (1996).

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