解析几何：第五章 二次曲线（2）抛物线 一般二次曲线
§4 抛物线
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1. 抛物线基本参数 如图所示:
轴：AB 顶点：A 焦点：F 焦点参数：p（过焦点且垂直于轴的弦长之半，即图中CD之长的一半） 焦点半径： r（抛物线上一点到焦点的距离，如图中MF之长） 直径：直线EMH(平行于抛物线的直线) 准线：直线L(与轴垂直，到顶点A的距离为p/2,到焦点F的距离为P) |
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2. 抛物线的性质
如上图，MF=ME,或写为r=ME. 即抛物线是到一定点（焦点）的距离与到一定直线（准线）的距离相等的动点M的轨迹。
3. 抛物线方程
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图形 |
方程 |
顶点，焦点，准线 |
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1 标准方程
2 极坐标方程
（极点位于焦点F,极轴与抛物线轴重合，背向顶点） |
顶点：A(0,0)
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顶点：A(0,0)
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顶点：A(0,0)
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顶点：A(0,0)
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顶点：A(g,h)
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顶点：A(g,h)
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顶点：
(当a>0时，开口 向上， (当a<0时，开口 向下) 焦点参数：
与x轴的交点A1,A2：
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1. （a>0） 2. 参数方程
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顶 点：
焦点参数：
|
(a>0)
4. 抛物线的切线
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(1)
的切线（MT）方程为：
若切线的斜率为k,则切线方程为：
切线MT把M点焦点半径与直径的夹角
并且一切与MT平行的弦被过M点的直径平分 |
|
(2)
抛物线任两切线的夹角等于两切线的焦点半径夹角的一半，
(3)从焦点F作抛物线在点M的切线的垂线，则垂足的轨迹为顶点的切线。
§5 一般二次曲线
1．一般二次曲线的方程
x，y的二次方程
所表示的曲线称为一般二次曲线
2．二次曲线的一般性质
(1)直线与二次曲线的交点
一直线与一个二次曲线交于两点（实的，虚的，重合的）
(2)二次曲线的直径与中心
一个二次曲线的平行于已知方向的弦的中点在一直线上，称它为二次曲线的直径，他平分某一组弦，设已知方向的方向数为α,β, 则直径的方程为
或改写为
由此可见，二次曲线的直径组成一个直线束，束内任一直径通过下列两直线交点：
这时二次曲线的一切直径通过同一个点，称为中心，这种曲线称为有心二次曲线，
中心的坐标为
<1>
这时曲线无中心；
<2> 
这时曲线有无限个中心，即中心在同一直线上（中心直线）,这两种曲线称为无心二次曲线。
(3) 二次曲线的主轴（或对称轴）
如果直径垂直于被它所平分的弦，则称它为二次曲线的主轴（或对称轴），无心二次曲线有一条实的主轴；有心二次曲线有两条实的主轴，他们是互相垂直的，焦点就是中心。
3． 二次曲线上的切线与法线
二次曲线上的一点M(xo,yo)的切线方程为
在点M与二次曲线的切线垂直的直线称为在点M的法线，它的方程为
4．二次曲线的不变量
由一般二次曲线的方程
(1)
的系数所组成的下列三个函数：
称为二次曲线的不变量，即经过坐标变换后，这些量是不变的。
行列式D称为二次方程(1)的判别式。
5．二次曲线的标准方程与形状
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不 变 量 |
坐标变换下的标准方程 |
曲线形状 |
||
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有 心 二 次 曲 线 |
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式中
A,C是特征方程
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DS<0时为椭圆 DS>0时为虚椭圆 |
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有一公共实点的 一对虚直线 |
|||
|
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双曲线 |
||
|
|
相交两直线 |
|||
|
无 心 二 次 曲 线 |
|
式中
|
抛物线 |
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|
时为平行两直线，
时为重合两直线，
时为一对虚直线 |
||
的两特征根
6．
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a |
图 形 |
顶点·中心·焦点参数 |
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抛物线 |
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椭圆 |
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顶点 :
|
|
双曲线 |
|
7．圆锥截线
二次曲线都是用平面切割正圆锥面的截线，因此二次曲面也称为圆锥截线.
用一平面p切割正圆锥时，若p不通过锥顶，且不平行与任一母线，则截线为椭圆；
若p不通过锥顶，而平行与一条母线时，截线为抛物线；若p不通过锥顶，而平行与两条母线时，截线为双曲线；若p垂直于锥轴，截线为圆。
若p通过锥顶，则椭圆变为一点，双曲线变为一对相交直线，抛物线变为p与圆锥相切的一直线。
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