保险精算--第8周作业

一项连续支付的年金，第 1 年连续支付 100 元，第 2 年连续支付120 元，第 3 年连续支付 140 元，以此类推，直到第 15 年连续支付 380 元。假设年实际利率为 5%，请问该年金的现值
80×1−(11+0.05)15log⁡(1+0.05)+20×1−1(1+0.05)150.05×11+0.05−15(11+0.05)15log⁡(1+0.05)80 \times \frac{1-\left(\frac{1}{1+0.05}\right)^{15}}{\log (1+0.05)}+20 \times \frac{\frac{1-\frac{1}{(1+0.05)^{15}}}{0.05 \times \frac{1}{1+0.05}}-15\left(\frac{1}{1+0.05}\right)^{15}}{\log (1+0.05)}80×log(1+0.05)1−(1+0.051)15+20×log(1+0.05)0.05×1+0.0511−(1+0.05)151−15(1+0.051)15

#wolfram
80*((1-(1/(1+0.05))^15)/ln(1+0.05))+20*(((1-(1/(1+0.05)^15))/(0.05*(1/(1+0.05)))-(15*(1/(1+0.05))^15))/ln(1+0.05)
(1-(1/(1+0.05)^15))/(0.05*(1/(1+0.05)))

一项连续支付年金，第 1 年连续支付 200 元，以后每年比前一年减少 15 元，直到最后支付 50 元。假设年实际利率为 8%，请计算该年金在第 15 年末的终值。
(11×(1+0.08)11−1log⁡(1+0.08)+15×11(1+0.08)11−(1+0.08)11−10.08log⁡(1+0.08))(1+0.08)4\left(11 \times \frac{(1+0.08)^{11}-1}{\log (1+0.08)}+15 \times\right.\left.\frac{11(1+0.08)^{11}-\frac{(1+0.08)^{11}-1}{0.08}}{\log (1+0.08)}\right)(1+0.08)^{4}(11×log(1+0.08)(1+0.08)11−1+15×log(1+0.08)11(1+0.08)11−0.08(1+0.08)11−1)(1+0.08)4

#wolfram
(11*((1+0.08)^11-1)/ln(1+0.08)+15*(11*(1+0.08)^11-((1+0.08)^11-1)/0.08)/ln(1+0.08))*(1+0.08)^4

一项 10 年期的连续年金在 t 时刻的支付率为ρ(t)=2t+1ρ(t) = 2t + 1ρ(t)=2t+1，假设利息力为 δ(t)=0.3+0.2tδ(t) = 0.3 + 0.2tδ(t)=0.3+0.2t。请计算该年金在 0 时刻的现值
∫010(2t+1)exp⁡[−∫0t(0.3+0.2s)ds]dt\left.\int_{0}^{10}(2 t+1) \exp [- \int_{0}^{t}(0.3+0.2s) d s\right] d t∫010(2t+1)exp[−∫0t(0.3+0.2s)ds]dt

一个现金流从时刻 5 到时刻 10 连续付款，在 t 时刻的付款率为ρ(t)=t2+2tρ(t) = t^2+2tρ(t)=t2+2t从 0 时刻到 8 时刻的利息力为δ(t)=0.002t+0.01δ(t) = 0.002t + 0.01δ(t)=0.002t+0.01，从时刻8 到时刻 10 的利息力为 δ(t)=0.0006t2+0.001tδ(t) = 0.0006t^2+0.001tδ(t)=0.0006t2+0.001t 。请计算该现金流在第 10年末的终值。
a(5)=exp⁡(∫050.002t+0.01dt)a(5)=\exp \left(\int_{0}^{5} 0.002 t+0.01 d t\right)a(5)=exp(∫050.002t+0.01dt)
∫58(t2+2t)exp⁡(0.144−0.001t2−0.01t)dt=173.387\int_{5}^{8}\left(t^{2}+2 t\right) \exp \left(0.144-0.001 t^{2}-0.01 t\right) d t=173.387∫58(t2+2t)exp(0.144−0.001t2−0.01t)dt=173.387

int_5^8 {(t^2+2t)*exp(0.144-0.001*t^2-0.01*t)}dt

∫810(t2+2t)exp⁡(0.205−0.0005t2−0.0002t3)dt=201.349\int_{8}^{10}\left(t^{2}+2 t\right) \exp \left(0.205-0.0005 t^{2}-0.0002 t^{3}\right)d t=201.349∫810(t2+2t)exp(0.205−0.0005t2−0.0002t3)dt=201.349

(int_8^10 {(t^2+2t)*exp(0.205-0.0005*t^2-0.0002*t^3)}dt

173.387*201.349*1.07788415=37630.33591591755145

（等差数列年金）设一个 n 期的年金，年实际利率为iii，在时刻 kkk支付xk=x1+(k−1)∆x_k = x_1 + (k-1)∆xk=x1+(k−1)∆，其中，1⩽k⩽n1 ⩽ k ⩽ n1⩽k⩽n。
(1) 请给出该年金的现值的表达式。
(2) 根据 (1) 中给出的公式，计算当 n=11,x1=350,∆=50,i=5%n = 11, x_1 = 350, ∆ = 50, i = 5\%n=11,x1=350,∆=50,i=5%时，年金在时刻 0 的现值和在时刻 12 的终值。
=vx1+(x1+Δ)v2+(x1+2Δ)v3+….+vn(x1+(n−1)Δ)v x_{1}+\left(x_{1}+\Delta\right) v^{2}+\left(x_{1}+2 \Delta\right) v^{3}+\dots .+v^{n}\left(x_{1}+(n-1)\Delta\right)vx1+(x1+Δ)v2+(x1+2Δ)v3+….+vn(x1+(n−1)Δ)
=x1⋅v(1−vn)1−v+Δ1−v(v(1−vn)1−v−v−(n−1)vn+1)= x_{1} \cdot \frac{v\left(1-v^{n}\right)}{1-v}+\frac{ \Delta}{1-v}\left(\frac{v\left(1-v^{n}\right)}{1-v}-v-(n-1)v^{n+1}\right)=x1⋅1−vv(1−vn)+1−vΔ(1−vv(1−vn)−v−(n−1)vn+1)

一项 10 年期的金融产品，该产品满足以下条件：
(1) 每年初可获得 1 万元，这些款项按照年实际利率5%5\%5% 计息；
(2) 在每年末所获利息又以 4%4\%4% 的年实际利率计息。
如果该金融产品的年收益率为 5%5\%5%，请计算该产品现在的售价。

((((1-(1/(1+0.04))^10)/(0.04*(1/(1+0.04)))*(1+0.04)^10-10)/0.04*500+10^5))/(1+0.05)^10
#80471.38

(1−(11+0.04)100.04×11+0.04(1+0.04)10−100.04×500+105\frac{\frac{1-\left(\frac{1}{1+0.04}\right)^{10}}{0.04 \times \frac{1}{1+0.04}}(1+0.04)^{10}-10}{0.04} \times 500+10^{5}0.040.04×1+0.0411−(1+0.041)10(1+0.04)10−10×500+105）/(1+0.05)^10

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