对称矩阵特征向量正交推导
对于对称方阵A,如有特征解λ1对应特征向量p1,特征解λ2对应特征向量p2,根据特征向量的定义,有:
A * p1 = λ1 * p1 ①
A * p2 = λ2 * p2 ②
如p1和p2正交,则必有p1' * p2 = 0,欲证明此式,可构造非零表达式常数K,使得K * (p1' * p2) = 0,而因λ1和λ2是不同的特征解,即λ1 != λ2,故K式可为λ2 - λ1,下面来构造此式:
① 左乘p2',得:
p2' * A * p1 = λ1 * p2' * p1 ③
②左乘p1',得:
p1' * A * p2 = λ2 * p1' * p2 ④
p2' * p1由于p1和p2都是列向量,故结果为1X1矩阵,亦即p2' * p1 = p1' * p2 , ③式等价于:
p2' * A * p1 = λ1 * p1' * p2 ⑤
④ - ⑤式,得
p1' * A * p2 - p2' * A * p1 = (λ2 - λ1) * (p1' * p2) ⑥
⑥式等号左边为:
∑p1i * Aij * p2j - ∑p2i * Aij * p1j ⑦,又因A是对称矩阵,故有Aij == Aji,故⑦可化为∑p1i * Aij * p2j - ∑p2i * Aji * p1j = ∑p1i * Aij * p2j - ∑p1j* Aji * p2i = ∑p1i * Aij * p2j - ∑p1i* Aij * p2j = 0
故⑥等式右边(λ2 - λ1) * (p1' * p2) = 0,因λ2 != λ1,故p1' * p2 必为0,亦即p1和p2正交,证毕。
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