题目描述：

一个序列的宽度定义为该序列中最大元素和最小元素的差值。

给你一个整数数组 nums ，返回 nums 的所有非空 子序列 的 宽度之和 。由于答案可能非常大，请返回对 109 + 7 取余后的结果。

子序列 定义为从一个数组里删除一些（或者不删除）元素，但不改变剩下元素的顺序得到的数组。例如，[3,6,2,7] 就是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的一个子序列。

示例 1：

输入：nums = [2,1,3]
输出：6
解释：子序列为 [1], [2], [3], [2,1], [2,3], [1,3], [2,1,3] 。
相应的宽度是 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2 。
宽度之和是 6 。

示例 2：

输入：nums = [2]
输出：0

解法思路：

[2,1,3]的子序列为：[2], [1], [3], [2,1], [2,3], [1,3], [2,1,3]

宽度是：0 0 0 1 1 2 2 和为6

[1,2,3]的子序列为：[1], [2], [3], [1,2], [1,3], [2,3], [1,2,3]

宽度是：0 0 0 1 2 1 2 和为6

由此不难发现子序列宽度之和与数组的元素顺序无关，因为题目中宽度的定义是最大值-最小值，而不是索引最大值-索引最小值。

所以我们先将数组排序。

由这个例子，我们不难推出：答案6=0（2-2）+0（1-1）+0（3-3）+1（2-1）+1（3-2）+2（3-1）+2（3-1） = （1*1 - 1*4） + （2*2 - 2*2） + （3*4 - 3*1）

由这个公式，我们可以得出一个结论：最后宽度之和就是每个元素作为最大元素和(这个元素大小*当老大次数) - 作为最小元素和（这个元素大小*做老幺次数）

那么就可以推广这个公式到n：

1*2^0 - 1*2^(n-1) + 2*2^1 - 2*2^(n-2) +...+ (n-1)*2^(n-2) - (n-1)*2^1 + n*2^(n-1) - n*2^0

（其中1是第一个元素 n是第n个元素 2...(n-1)以此类推）

下面给出这道题的具体代码：

public class Main{public static void main(String[] args) {System.out.println(sumSubseqWidths(new int[]{2,1,3}));}private static int sumSubseqWidths(int[] nums) {final int MOD = 1000000007;Arrays.sort(nums);long sum = 0L;int n = nums.length;for (int i = 0; i < n; i++) {sum += (long) (nums[i] * Math.pow(2, i)) - (long) (nums[i] * Math.pow(2, n - 1 - i));}return (int) ((sum % MOD + MOD) % MOD);}
}

注意：公式中有减法，最后结果可能为负数，所以要先加上MOD，在对MOD取模

可惜的是，这个公式在运算数组长度较大的时候不能精确的算出结果，可能是因为

(long) (nums[i] * Math.pow(2, i)) - (long) (nums[i] * Math.pow(2, n - 1 - i)) 超过了long的范围

（Math.pow()需要的类型是double）

不过公式是正确的。

优化思路：

因为由上面的公式可知 一个元素（第一个元素）作为最大元素次数与其对称元素（最后一个元素）作为最小元素次数相等

公式：1*2^0 - 1*2^(n-1) + 2*2^1 - 2*2^(n-2) +...+ (n-1)*2^(n-2) - (n-1)*2^1 + n*2^(n-1) - n*2^0

如上面标注出的 1的最大次数等于 n的最小次数

那么这个公式就可以改写成：

(1-n)*2^0 + (2-(n-1))*2^1 +...+ ((n-1)-2)*2^(n-2) + (n-1)*2^(n-1)

于是就可以给出优化后的代码：

public class Main{public static void main(String[] args) {System.out.println(sumSubseqWidths(new int[]{2,1,3}));}private static int sumSubseqWidths(int[] nums) {final int MOD = 1000000007;Arrays.sort(nums);long sum = 0L;int n = nums.length;long pow = 1L;//2^0=1for (int i = 0; i < n; i++) {sum += (nums[i] - nums[n - 1 - i]) * pow;pow = pow * 2 % MOD;}return (int) ((sum % MOD + MOD) % MOD);}
}

每次求和和相乘的次数（2的几次方）都对MOD取模了，所以不用担心会超过数据范围

要注意的是 子序列为单个元素时两种计算公式都额外当成了作为最大元素与最小元素各一次但都减去了所以对结果无影响

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