线段树(lazy用法)

在上一篇中，我们讨论了线段树的基础用法，其中我们对于线段树的修改，仅仅限制于对于线段树的点的修改，而不是对于某一个一段区间的修改。
那么我们现在来想想如果对于线段树的一段区间来进行修改的话，如果我们还是来对线段树的每一个点都进行修改的话，那么，假设我们需要修改m个点，其时间复杂度岂不是为O(log(n))了，那么我们所需要的少的时间复杂度的要求就没有达成，为此，lazy数组应运而生，来解决这个问题。

首先我们来认识一下lazy：如果当前区间被需要修改的目标区间完全覆盖，打一个标记。如果下一次的查询或者更改包含此区间，那么将这个标记分解，并且传递给其左右儿子。简单的说，延迟标记在我们需要时，才向下传递信息，如果没有用到，则不再进行操作。这个思想使得处理的复杂度依旧保持在O(log2(n))左右，相比朴素算法大大地降低了复杂度。
例如下面：我们修改3到8之间的值

我们所要修改的 3~8 即在 1 ~10 的左子树上有也在其右子树上有，且没有完全覆盖1 ~ 10的区间，所以进行分别传导。

我们可以发现，在我们传导过程中，到了3这个叶子节点，4~5区间，6 ~ 8区间的时候，和我们需要改变的3 ~ 8的位置相吻合，此时我们对于完全包含的4 ~5区间，6 ~ 8区间不再进行向下传导，在这两个区间的位子记录更改值即可
假设我们需要在3 ~ 8区间中的每一个数字都进行加1操作，那么有如图所示的操作

我们可以看见，lazy操作在经过完全覆盖的一个区间时，就不再进行向下分摊的操作了，其tree=(r-l+1)*lazy,

代码讲解
对于树的建立

void build_date(int l,int r,int rt)
{if(l==r){tree[rt]=a[l];return 0;}int mid = (l+r)>>1;build_date(l,mid,rt<<1);build_date(mid+1,r,rt<<1|1);tree[rt]+=tree[rt<<1]+tree[rt<<1|1];
}

对于线段树的建立我就不多讲，不懂得可以参照我上一篇的线段树基础对照。

核心代码:pushdown_tree

void pushdown_tree(int l,int r,int rt)
{int mid=(l+r)>>1;lazy[rt<<1]+=lazy[rt];lazy[rt<<1|1]+=lazy[rt];tree[rt<<1]+=lazy[rt]*(mid-l+1);tree[rt<<1|1]+=lazy[rt]*(r-mid);lazy[rt]=0;
}

pushdown_tree是线段树lazy操作的核心代码，对于父节点存储的lazy值，在需要访问或者使用其相应子节点的时候进行下放操作，但是，对于pushdown_tree我们不需要单独使用，我们对于pushdown_tree的操作是在在update_tree和query_tree函数的调用中进行的。
在update_tree中，如果不完全包括l,r范围的改变，那么调用pushdown_tree就向下分摊直到完全包括。
在query_tree中，当输出范围不完全包括l,r范围时，那么就调用pushdown_tree向下分摊直到完全包括。

更改函数update_tree的调用:

void update_tree(int l,int r,int x,int y,int rt,int c)
{if(l==x&&r==y){tree[rt]+=（r-l+1)*c;lazy[rt]+=c;return;}pushdown_tree(l,r,rt);int mid=(r+l)>>1;if(mid>y)update_tree(l,mid,x,y,rt<<1,c);else if(mid<x)update_tree(mid+1,r,x,y,rt<<1|1,c);else{update_tree(l,mid,x,mid,rt<<1,c);update_tree(mid+1,r,mid+1,y,rt<<1|1,c);}tree[rt]=tree[rt<<1]+tree[rt<<1|1];
}

对于update_tree函数的调用我们需要注意的是的在对左右子树是否都需要递归，当我们需要更改的范围在完全处于当前父节点的左(右)子树上的时候，我们只需要向一边进行递归即可。

查询操作

ll query_tree(l,r,x,y,rt)
{if(l==x&&r==y)return tree[rt];pushdown_tree(l,r,rt)int mid=(r+l)>>1;if(mid<x)return query_tree(mid+1,r,x,y,rt<<1|1);else if(mid>=y)return query_tree(l,mid,x,y,rt<<1);elsereturn query_tree(l,mid,x,mid,re<<1)+query_tree(mid+1,r,mid+1,y,re<<1|1);
}

注意在没有(l ==x&&r= =y)的时候要进行pushdown_tree，对父节点的lazy数组进行向下释放。

最后就是完整代码的输出

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int maxl=1000;
int a[maxl];
ll tree[maxl*4];//一般对于tree和lazy开四倍就可，很多大佬也喜欢用40，32来运算，也可以
ll lazy[maxl*4];
void build_date(int rt,int l,int r)
{if(l==r){tree[rt]=a[l];return ;}int mid=l+r>>1;build_date(rt<<1,l,mid);build_date(rt<<1|1,mid+1,r);tree[rt]=tree[rt<<1]+tree[rt<<1|1];
}
void pushdown_tree(int rt,int l,int r)//对于pushdown_tree函数不需要单独使用
//在update_tree中，如果不完全包括l,r范围的改变，那么调用pushdown_tree就向下分摊直到完全包括
//在query_tree中，当输出范围不完全包括l,r范围时，那么就调用pushdown_tree向下分摊直到完全包括
{int mid=l+r>>1;lazy[rt<<1]+=lazy[rt];lazy[rt<<1|1]+=lazy[rt];tree[rt<<1]+=lazy[rt]*(mid-l+1);tree[rt<<1|1]+=lazy[rt]*(r-mid);lazy[rt]=0;
}
void update_tree(int rt,int l,int r,int x,int y,int c)
{if(l==x&&r==y){tree[rt]+=(r-l+1)*c;lazy[rt]+=c;return ;}pushdown_tree(rt,l,r);int mid=l+r>>1;if(y<=mid)update_tree(rt<<1,l,mid,x,y,c);else if(x>mid)update_tree(rt<<1|1,mid+1,r,x,y,c);else{update_tree(rt<<1,l,mid,x,mid,c);update_tree(rt<<1|1,mid+1,r,mid+1,y,c);}tree[rt]=tree[rt<<1]+tree[rt<<1|1];
}
ll query_tree(int rt,int l,int r,int x,int y)
{if(l==x&&r==y){return tree[rt];}pushdown_tree(rt,l,r);int mid=l+r>>1;if(y<=mid)return query_tree(rt<<1,l,mid,x,y);else if(x>mid)return query_tree(rt<<1|1,mid+1,r,x,y);elsereturn query_tree(rt<<1,l,mid,x,mid)+query_tree(rt<<1|1,mid+1,r,mid+1,y);
}
int main()
{int n,q;cin>>n>>q;memset(lazy,0,sizeof(lazy));for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];build_date(1,1,n);for(int i=1;i<=32;i++)cout<<"tree["<<i<<"]="<<tree[i]<<endl;while(q--){char str[10];cin>>str;if(str[0]=='Q'){int x,y;cin>>x>>y;cout<<query_tree(1,1,n,x,y)<<endl;//遍历与输出函数}else{int x,y,c;cin>>x>>y>>c;update_tree(1,1,n,x,y,c);//改变区域值函数，在[x,y]范围中，每个数字改变c}}return 0;
}

对于线段树的进阶lazy就讲完了，下一期来讲权值线段树和某位大佬发明的主席树

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