UVA12716 LA6657 GCD XOR【GCD+位运算+前缀和】

Given an integer N, find how many pairs (A, B) are there such that: gcd(A, B) = A xor B where 1 ≤ B ≤ A ≤ N.
Here gcd(A, B) means the greatest common divisor of the numbers A and B. And A xor B is the value of the bitwise xor operation on the binary representation of A and B.
Input
The first line of the input contains an integer T (T ≤ 10000) denoting the number of test cases. The following T lines contain an integer N (1 ≤ N ≤ 30000000).
Output
For each test case, print the case number first in the format, ‘Case X:’ (here, X is the serial of the input) followed by a space and then the answer for that case. There is no new-line between cases.
Explanation
Sample 1: For N = 7, there are four valid pairs: (3, 2), (5, 4), (6, 4) and (7, 6).
Sample Input
2
7
20000000
Sample Output
Case 1: 4
Case 2: 34866117

问题链接：UVA12716 LA6657 GCD XOR
问题简述：给定整数n，计算有多少对整数（a，b）满足：1<=b<=a<=n，且gcd(a,b)=a XOR b。例如：n=7时，有4对：(3,2)，(5,4)，(6,4)，(7,6)。
问题分析：
数学结论如下：

若a xor b = c，则 a xor c = b
设a >= b，则满足a - b <= a xor b
若 gcd(a,b) = a xor b = c ，其前提为a >= b，由上述(2)得：a - b <= c
令 a = k1×c，b = k2 × c，（k1 >= k2)，所以 a - b = （k1 - k2）× c，所以 a - b >= c
由上述的(3)和(4)得a - b = c

根据上述结论，枚举打表即可。LA6657（UVALive6657）中WA，不理解。
程序说明：（略）
参考链接：（略）
题记：（略）

AC的C++语言程序如下：

/* UVA12716 LA6657 GCD XOR */#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 30000000;
int ans[N + 1];void init()
{memset(ans, 0, sizeof(ans));int end = N >> 1;for(int c = 1; c <= end; c++)for(int a = c + c; a <= N; a += c) {int b = a - c;if((a ^ b) == c) ans[a]++;}for(int i = 2; i <= N; i++) ans[i] += ans[i - 1];   // 算前缀和
}int main()
{init();int t, n;scanf("%d", &t);for(int k = 1; k <= t; k++) {scanf("%d", &n);printf("Case %d: %d\n", k, ans[n]);}return 0;
}

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