【数学】三壶问题的一种通解

∣三壶问题的一种通解A.D.HorcruxPresents.∣\begin{vmatrix}\Huge{\textsf{ 三壶问题的一种通解 }}\\\texttt{A.D.Horcrux Presents.}\end{vmatrix}∣∣∣∣∣ 三壶问题的一种通解 A.D.Horcrux Presents.∣∣∣∣∣

小学奥数中常常看到这类题目：

三个壶子，容积分别为6L,5L,10L，且没有刻度，现在10L的壶子装满水，要让10L的壶子恰好装8L水，要怎么倒？

伤透了脑筋。

这种东西其实可以无脑解决！

$ $

我们构造一个正三角形的网格解决。

首先，观察三个数字：6，5，10.

在网格里找五个格点O,A,B,C,DO,A,B,C,DO,A,B,C,D

使得OA=6,OB=5,AD=10−6=4,BC=10−5=5,OA = 6, OB = 5, AD = 10 - 6 = 4,BC = 10-5 = 5,OA=6,OB=5,AD=10−6=4,BC=10−5=5,

且这些点都在网格线上。

然后给这些点标上序号：

现在想象一个台球从OOO出发，打向OAOAOA的另一个端点。台球会反弹回来，并且反射角等于入射角。

这样我们可以绘出台球的路径：

定义一个点到一条直线的距离为 从这个点走到直线上任意一点，经过最少的网格边数。

例如A到OB的距离为6，C到OA的距离为5.

再定义一个点的坐标为 （到OB的距离，到OA的距离）。

例如C的坐标为(5,5).

预备工作做好啦awa

现在我们来解析一下这些路径的意义：

第一次 台球打到A点，A点坐标为(6,0\color{red}6\color{black},\color{blue}06,0)，

意味着第一步操作后，

第一个水壶（即容积为6L的水壶）装有6\color{red}66L的水，

第二个水壶（即容积为5L的水壶）装有0\color{blue}00L的水。

此时大水壶（即容积为10L的水壶）装有4L的水。

第二次 台球打到(1,5\color{red}1\color{black},\color{blue}51,5)，

意味着第二步操作后，

第一个水壶装有1\color{red}11L的水，

第二个水壶装有5\color{blue}55L的水，

那么大水壶装有4L的水。

有感觉了吗！！！\large\texttt{有感觉了吗！！！}有感觉了吗！！！

第三次 台球打到(1,0)，

意味着第三步操作后，

第一个水壶装有1L的水，

第二个水壶装有0L的水，

那么大水壶装有9L的水。

第四次 台球打到(0,1)，

意味着第四步操作后，

第一个水壶装有0L的水，

第二个水壶装有1L的水，

那么大水壶装有9L的水。

第五次 台球打到(6,1)，

意味着第五步操作后，

第一个水壶装有6L的水，

第二个水壶装有1L的水，

那么大水壶装有3L的水。

第六次 台球打到(2,5)，

意味着第六步操作后，

第一个水壶装有2L的水，

第二个水壶装有5L的水，

那么大水壶装有3L的水。

第七次 台球打到(2,0)，

意味着第二步操作后，

第一个水壶装有2L的水，

第二个水壶装有0L的水，

那么大水壶装有8L的水。

END.END.END.

但为什么可以实现呢？

我也不知道QAQ

有待进一步探究。

注意：

1.有些情况下打向B比打向A所需要的步骤更少；

2.如果始终达不到所需要的水的量，说明无法实现。

——A.D.Horcrux presents.\textrm{——A.D.Horcrux presents.}——A.D.Horcrux presents.

整理自 别莱利曼《趣味几何学》

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