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绪论

信号的分类
- 确定信号和随机信号
- 连续信号和离散信号
- 周期信号和非周期信号
- 信号类型的分辨
典型连续时间信号
- 正弦信号
- 指数信号
- 复指数信号
- 阶跃信号
- 冲激信号
- 抽样信号
- 钟形脉冲函数(高斯函数)
信号的基本运算
- 信号的四则运算
- 信号的波形变换
- - 反褶
  - 移位
  - 尺度变换
  - 几种变换组合
- 信号的积分和微分
阶跃信号和冲激信号
- 单位阶跃信号
- 单位阶跃信号的积分——单位斜变信号
- 单位冲激信号
- - 单位冲激信号的定义及图像
  - 冲激函数的性质
- 冲激偶信号——冲激函数的导数
- - 冲激偶信号的定义和图像
  - 冲激偶的性质
信号的分解
- 直流分量与交流分量
- 偶分量与奇分量
- 脉冲分量
- 实部分量与虚部分量
系统模型及分类
- 连续系统与离散系统
- 动态系统与即时系统
- 线性系统与非线性系统
- 时不变系统与时变系统
- 因果系统与非因果系统
- 稳定系统与不稳定系统
- 可逆与不可逆系统
系统的描述

信号的分类

确定信号和随机信号

{确定信号：可以用确定时间函数表示的信号随机信号随机信号：信号不能用确切的函数描述，在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性\begin{cases}确定信号：可以用确定时间函数表示的信号随机信号\\随机信号：信号不能用确切的函数描述，在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性 \end{cases}{确定信号：可以用确定时间函数表示的信号随机信号随机信号：信号不能用确切的函数描述，在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性

一些确定信号比如正弦波、余弦波、方波等
一些随机信号比如股市的k线，语音信号等

连续信号和离散信号

{连续信号：在连续的时间范围内有定义的信号称为连续时间信号离散信号：在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号\begin{cases}连续信号：在连续的时间范围内有定义的信号称为连续时间信号\\离散信号：在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号 \end{cases}{连续信号：在连续的时间范围内有定义的信号称为连续时间信号离散信号：在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号

离散信号可表示为x(nT)x(nT)x(nT)，通常取等间隔T，简写为x(n)，这种等间隔的离散信号也常称为序列。其中k称为序号。

周期信号和非周期信号

{周期信号：是指一个每隔一定时间T，按相同规律重复变化的信号非周期信号：不具有周期性的信号称为非周期信号\begin{cases}周期信号：是指一个每隔一定时间T，按相同规律重复变化的信号\\非周期信号：不具有周期性的信号称为非周期信号 \end{cases}{周期信号：是指一个每隔一定时间T，按相同规律重复变化的信号非周期信号：不具有周期性的信号称为非周期信号

周期信号的规律

两个周期信号x(t)，y(t)x(t)，y(t)x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2T_1和T_2T1和T2，若其周期之比T1/T2T_1/T_2T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)x(t)+y(t)x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2T_1和T_2T1和T2的最小公倍数。
两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列
连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列
{sin2t+cos3t是周期信号sinπt+cos2t不是周期信号\begin{cases}sin2t+cos3t 是周期信号\\sin\pi t+cos2t 不是周期信号 \end{cases}{sin2t+cos3t是周期信号sinπt+cos2t不是周期信号

信号类型的分辨

数字信号与离散信号：数字信号属于离散信号，但二者并不是完全等价，幅值为有限个的离散信号才是数字信号。比如某个离散信号，只取0，1，2这几个数的幅值，这便是数字信号，若是赋值范围是无限大，那就不是数字信号

典型连续时间信号

正弦信号

f(t)=Ksin(ω+θ)f(t)=Ksin(\omega+\theta)f(t)=Ksin(ω+θ)

周期 T=2πωT=\frac{2\pi}{\omega}T=ω2π
角频率 ω=2πf\omega=2\pi fω=2πf
正弦信号对时间的积分、微分后仍然是同频率余弦

指数信号

f(t)=Keatf(t)=Ke^{at}f(t)=Keat
τ=1∣a∣\tau=\frac{1}{|a|}τ=∣a∣1

指数信号对时间的微、积分仍是指数
{a>0：信号将随时间而增长a<0:信号将随时间而衰减a=0：直流信号\begin{cases}a>0：信号将随时间而增长\\a<0:信号将随时间而衰减\\a=0：直流信号\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧a>0：信号将随时间而增长a<0:信号将随时间而衰减a=0：直流信号
τ\tauτ为指数信号时间常数，τ\tauτ越大，信号变化（增长或衰减）越快

复指数信号

f(t)=Kest，s=σ+jωf(t)=Ke^{st}，s=\sigma+j\omegaf(t)=Kest，s=σ+jω
f(t)=Keat=Keσtcos(ωt)+Keσtsin(ωt)f(t)=Ke^{at}=Ke^{\sigma t}cos(\omega t)+Ke^{\sigma t}sin(\omega t)f(t)=Keat=Keσtcos(ωt)+Keσtsin(ωt)

s=σ+jωs=\sigma+j\omegas=σ+jω为复数，称为复频率
σ,ω\sigma,\omegaσ,ω都是实常数
σ\sigmaσ的量纲是1/s1/s1/s,ω\omegaω的量纲是rad/srad/srad/s
{σ=0,ω=0:直流信号σ>0,ω=0:升指数信号σ<0,ω=0:衰减指数信号\begin{cases}\sigma=0,\omega=0:直流信号\\\sigma>0,\omega =0:升指数信号\\\sigma<0,\omega=0:衰减指数信号\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧σ=0,ω=0:直流信号σ>0,ω=0:升指数信号σ<0,ω=0:衰减指数信号
振荡信号{σ=0,ω̸=0:等幅σ>0,ω̸=0:增幅σ<0,ω̸=0:衰减\begin{cases}\sigma =0,\omega\not=0:等幅\\\sigma>0,\omega \not=0:增幅\\\sigma<0,\omega\not=0:衰减\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧σ=0,ω̸=0:等幅σ>0,ω̸=0:增幅σ<0,ω̸=0:衰减

阶跃信号

单位阶跃信号：
u(t)={0(t<0)1(t>0)u(t)=\begin{cases}0\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space (t<0)\\1\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space (t>0)\end{cases}u(t)={0 (t<0)1 (t>0)
图像表示：

冲激信号

{δ(t)=0(t̸=0)∫−∞∞δ(t)dt=1(t>0)\begin{cases}\delta(t)=0\space \space \space \space\space\space\space\space\space\space \space \space \space \space \space \space \space (t\not=0)\\\int _{-∞}^{∞}\delta(t)dt=1\space \space \space \space \space \space (t>0)\end{cases}{δ(t)=0 (t̸=0)∫−∞∞δ(t)dt=1 (t>0)
图像表示：

(在后面会对冲激信号和阶跃信号详细阐述)

抽样信号

Sa(t)=sin⁡ttSa(t)=\frac{\sin t}{t}Sa(t)=tsint

Sa(−t)=Sa(t)Sa(-t)=Sa(t)Sa(−t)=Sa(t)，即它是偶函数
lim⁡t→0Sa(t)=1\lim\limits_{t\rightarrow0}Sa(t)=1t→0limSa(t)=1
lim⁡t→∞Sa(t)=0\lim\limits_{t\rightarrow∞}Sa(t)=0t→∞limSa(t)=0
Sa(t)=0 ⟹ t=±nπ(n=1,2,3....)Sa(t)=0\implies t=\pm n\pi\space\space\space\space\space\space\space\space(n=1,2,3....)Sa(t)=0⟹t=±nπ (n=1,2,3....)
∫0∞Sa(t)dt=π2,∫−∞∞Sa(t)=π\int_{0}^{∞}Sa(t)dt=\frac{\pi}{2},\int_{-∞}^{∞}Sa(t)=\pi∫0∞Sa(t)dt=2π,∫−∞∞Sa(t)=π

% matlab 代码
clear ;
close all;
clc;
t=-3*pi:pi/20:3*pi;
y=sinc(t);
plot(t,y);
xlabel('t');
ylabel('y');
grid on;

钟形脉冲函数(高斯函数)

f(t)=Ee−(tτ)2f(t)=Ee^{-(\frac{t}{\tau})^2}f(t)=Ee−(τt)2

信号的基本运算

常规运算{线性运算乘除运算\begin{cases}线性运算\\乘除运算\end{cases}{线性运算乘除运算
数学运算{微分运算积分运算\begin{cases}微分运算\\积分运算\end{cases}{微分运算积分运算
波形变换{反褶变换移位变换尺度变换\begin{cases}反褶变换\\移位变换\\尺度变换\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧反褶变换移位变换尺度变换
相互运算{卷积运算相关运算\begin{cases}卷积运算\\相关运算\end{cases}{卷积运算相关运算

信号的四则运算

两信号的相加、相减、相乘运算指同一时刻两信号之值对应相加减乘
如下图两信号f1(t)和f2(t)f_1(t)和f_2(t)f1(t)和f2(t):

f1(t)+f2(t)f_1(t)+f_2(t)f1(t)+f2(t):

f1(t)×f2(t)f_1(t)×f_2(t)f1(t)×f2(t):

信号的波形变换

反褶

将f(t)→f(−t)f(t)\rightarrow f(-t)f(t)→f(−t), x(n)→x(–n)x (n) → x (– n)x(n)→x(–n) 称为对信号fff的反转或反折。从图形上看是将fff 以纵坐标为轴反转180度

移位

遵循“左加右减”原则，即f(t+t0)f(t+t_0)f(t+t0)时，图像向左平移，f(t−t0)f(t-t_0)f(t−t0)时，图像向右平移（这里t0>0t_0>0t0>0）

尺度变换

遵循“大缩小展”原则，即f(at)f(at)f(at)中，{a>1图像压缩为原来的1aa<1图像展开为原来的1a倍\begin{cases}a>1\space\space\space\space\space 图像压缩为原来的\frac{1}{a}\\a<1\space\space\space\space\space图像展开为原来的\frac{1}{a}倍\end{cases}{a>1 图像压缩为原来的a1a<1 图像展开为原来的a1倍
（这里a>0a>0a>0）

几种变换组合

移位、反褶、尺度变换相结合，三种运算的次序可任意。但一定要注意始终对时间t 进行。
例如：f(t)→f(−2t−4)f(t)\rightarrow f(-2t-4)f(t)→f(−2t−4)

先移位、再尺度变换、最后反褶.
右移四位：f(t)→f(t−4)f(t)\rightarrow f(t-4)f(t)→f(t−4)
压缩1/2：f(t−4)→f(2t−4)f(t-4)\rightarrow f(2t-4)f(t−4)→f(2t−4)
反褶：f(2t−4)→f(−2t−4)f(2t-4)\rightarrow f(-2t-4)f(2t−4)→f(−2t−4)
（可以注意到，在尺度变换的时候，进行的是2t−42t-42t−4而不是2(t−4)2(t-4)2(t−4)，反褶也是只对ttt加了负号）
尺度变换、再移位、最后反褶
压缩1/2：f(t)→f(2t)f(t)\rightarrow f(2t)f(t)→f(2t)
右移两位：f(2t)→f(2(t−2))→f(2t−4)f(2t)\rightarrow f(2(t-2))\rightarrow f(2t-4)f(2t)→f(2(t−2))→f(2t−4)
反褶：f(2t−4)→f(−2t−4)f(2t-4)\rightarrow f(-2t-4)f(2t−4)→f(−2t−4)
先反褶，再移位，最后尺度变换
反褶：f(t)→f(−t)f(t)\rightarrow f(-t)f(t)→f(−t)
左移四位：f(−t)→f(−t−4)f(-t)\rightarrow f(-t-4)f(−t)→f(−t−4)
压缩1/2：f(−t−4)→f(−2t−4)f(-t-4)\rightarrow f(-2t-4)f(−t−4)→f(−2t−4)
(先进行反褶会增大变换难度，所以反褶一般最后处理)

信号的积分和微分

微分：信号f(t)的微分运算指f(t)f(t)f(t)对ttt取导数，即f′(t)=ddtf(t)f'(t)=\frac{d}{dt}f(t)f′(t)=dtdf(t)
积分：信号f(t)的积分运算指f(t)f(t)f(t)在（−∞，t）（-∞，t）（−∞，t）区间内的定积分，表达式为：∫−∞tf(τ)dτ\int_{-∞}^tf(\tau)d\tau∫−∞tf(τ)dτ

信号的微分和积分作用效果：

信号经过微分运算后突出显示了它的变化部分，起到了锐化的作用
信号经过积分运算后，使得信号突出变化部分变得平滑了，起到了模糊的作用；利用积分可以削弱信号中噪声的影响。

即：微分→\rightarrow→锐化；积分→\rightarrow→平滑

阶跃信号和冲激信号

单位阶跃信号

u(t)={0(t<0)1(t>0)u(t)=\begin{cases}0\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space (t<0)\\1\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space (t>0)\end{cases}u(t)={0 (t<0)1 (t>0)
有延迟的单位阶跃信号
u(t−t0)={0(t<t0)1(t>t0)u(t-t_0)=\begin{cases}0\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space (t<t_0)\\1\space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space (t>t_0)\end{cases}u(t−t0)={0 (t<t0)1 (t>t0)
即当t0>0t_0>0t0>0时，信号向右做t0t_0t0个单位的平移变换：

阶跃信号的应用——窗函数（门函数）
Gτ(t)=u(t+τ2)−u(t−τ2)G_\tau (t)=u(t+\frac{\tau}{2})-u(t-\frac{\tau}{2})Gτ(t)=u(t+2τ)−u(t−2τ)

窗函数的应用：

任何信号乘以一个窗函数，就只剩窗函数“窗口”里的内容了
如：
特殊函数的表示，如sgn(x)sgn(x)sgn(x)
sgn(x)={1(t>0)−1(t<0)=u(t)−u(−t)=2u(t)−1sgn(x)=\begin{cases}1\space\space\space\space\space\space(t>0)\\-1\space\space\space(t<0)\end{cases}=u(t)-u(-t)=2u(t)-1sgn(x)={1 (t>0)−1 (t<0)=u(t)−u(−t)=2u(t)−1

单位阶跃信号的积分——单位斜变信号

R(t)={0(t<0)t(t⩾0)R(t)=\begin{cases}0\space\space\space\space\space\space(t<0)\\t\space\space\space\space\space\space(t\geqslant0)\end{cases}R(t)={0 (t<0)t (t⩾0)
R(t)=∫−∞∞u(t)R(t)=\int_{-∞}^∞u(t)R(t)=∫−∞∞u(t)

三角脉冲信号
f(t)={KτR(t)(0⩽t⩽τ)0(other)f(t)=\begin{cases}\frac{K}{\tau}R(t)\space\space\space\space\space(0\leqslant t\leqslant \tau)\\0\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space(other)\end{cases}f(t)={τKR(t) (0⩽t⩽τ)0 (other)

单位冲激信号

单位冲激信号的定义及图像

冲激函数的性质

冲激函数与单位阶跃函数的关系：∫−∞tδ(τ)dτ=u(t),δ(t)=ddtu(t)\int_{-∞}^t\delta(\tau)d\tau=u(t),\delta(t)=\frac{d}{dt}u(t)∫−∞tδ(τ)dτ=u(t),δ(t)=dtdu(t)
抽样性：∫−∞∞f(t)δ(t−t0)dt=f(t0)\int_{-∞}^∞f(t)\delta(t-t_0)dt=f(t_0)∫−∞∞f(t)δ(t−t0)dt=f(t0)
奇偶性：为偶函数，δ(−t)=δ(t)\delta(-t)=\delta(t)δ(−t)=δ(t)
尺度变换性质：
（这里 aaa和t0t_0t0为常数，且a̸=0a\not=0a̸=0）

冲激偶信号——冲激函数的导数

冲激偶信号的定义和图像

冲激函数的微分，呈现正负极性的一对冲激，称为冲激偶信号
图像如下：

冲激偶的性质

信号的分解

信号从不同角度分解：

直流分量与交流分量
偶分量与奇分量
脉冲分量
实部分量与虚部分量
正交函数分量
利用分形理论描述信号

直流分量与交流分量

f(t)→fD(t)+fA(t)f(t)\rightarrow f_D(t)+f_A(t)f(t)→fD(t)+fA(t)
fD(t)f_D(t)fD(t)为信号直流分量，fA(t)f_A(t)fA(t)为交流分量

信号的直流分量值的是信号的平均值

偶分量与奇分量

数学中，任何一个函数可以分解为偶函数和奇函数，信号也是如此
f(t)→fe(t)+fo(t)f(t)\rightarrow f_e(t)+f_o(t)f(t)→fe(t)+fo(t)
fe(t)f_e(t)fe(t)为信号偶分量，fo(t)f_o(t)fo(t)为奇分量

分解方法：

判断信号是否为单纯的偶信号或者是奇信号
若不是，则可先将信号反褶，即f(t)→f(−t)f(t)\rightarrow f(-t)f(t)→f(−t)
利用fe=12[f(t)+f(−t)]f_e=\frac{1}{2}[f(t)+f(-t)]fe=21[f(t)+f(−t)]和fo=12[f(t)−f(−t)]f_o=\frac{1}{2}[f(t)-f(-t)]fo=21[f(t)−f(−t)]对信号进行分解

脉冲分量

脉高：f(τ)f(\tau)f(τ)

脉宽：Δτ\Delta\tauΔτ

存在区间：u(t−τ)−u(t−τ−Δτ)u(t-\tau)-u(t-\tau-\Delta\tau)u(t−τ)−u(t−τ−Δτ)

此脉冲可表示为：f(τ)[u(t−τ)−u(t−τ−Δτ)]f(\tau)[u(t-\tau)-u(t-\tau-\Delta\tau)]f(τ)[u(t−τ)−u(t−τ−Δτ)]

实部分量与虚部分量

对于瞬时值为复数的信号f(t)可分解为实、虚部两个部分之和
f(t)→fr(t)+jfi(t)f(t)\rightarrow f_r(t)+jf_i(t)f(t)→fr(t)+jfi(t)
其实部为：fr(t)=12[f(t)+f∗(t)]f_r(t)=\frac{1}{2}[f(t)+f^*(t)]fr(t)=21[f(t)+f∗(t)]

虚部为：jfi(t)=12[f(t)−f∗(t)]jf_i(t)=\frac{1}{2}[f(t)-f^*(t)]jfi(t)=21[f(t)−f∗(t)]

系统模型及分类

连续系统与离散系统

输入和输出均为连续时间信号的系统称为连续时间系统。
输入和输出均为离散时间信号的系统称为离散时间系统。
连续时间系统的数学模型是用微分方程来描述，而离散时间系统的数学模型是用差分方程来描述。

动态系统与即时系统

若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统或记忆系统。

判别方法：
含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统。否则称即时系统或无记忆系统。

线性系统与非线性系统

能同时满足齐次性与叠加性的系统称为线性系统。满足叠加性是线性系统的必要条件。不能同时满足齐次性与叠加性的系统称为非线性系统。

判别方法：

若有激励e(t)e(t)e(t)，响应r(t)r(t)r(t),之间满足r(t)=F[e(t)]r(t)=F[e(t)]r(t)=F[e(t)]

齐次性：若F[ae(t)]=aF[e(t)]F[ae(t)]=aF[e(t)]F[ae(t)]=aF[e(t)]，则说明该系统有齐次性
可加性：若F[e1(t)+e2(t)]=F[e1(t)]+F[e2(t)]F[e_1(t)+e_2(t)]=F[e_1(t)]+F[e_2(t)]F[e1(t)+e2(t)]=F[e1(t)]+F[e2(t)]，则说明该系统有可加性

在判别线性系统的时候，齐次性可加性需同时满足，故可一起判别:
若F[C1e1(t)+C2e2(t)]=C1F[e1(t)]+C2F[e2(t)]F[C_1e_1(t)+C_2e_2(t)]=C_1F[e_1(t)]+C_2F[e_2(t)]F[C1e1(t)+C2e2(t)]=C1F[e1(t)]+C2F[e2(t)]，则说明该系统是线性系统

时不变系统与时变系统

时不变性质: 若系统满足输入延迟多少时间，其激励引起的响应也延迟多少时间