多边形内部两两连线最多分出的区域数公式

2024-05-10 07:30:32

前置知识

欧拉定理：在任何一个规则球面地图上，用 R R R记区域个数， V V V记顶点个数， E E E记边界个数，则 R + V − E = 2 R+ V- E= 2 R+V−E=2。

Solution

R = E − V + 2 R=E-V+2 R=E−V+2

已经存在 n n n个点 n n n
任意四个点可以有一个交点 C n 4 C_n^4 Cn4
V = n + C n 4 V=n+C_n^4 V=n+Cn4

每两个点有一条边 C n 2 C_n^2 Cn2
一条线段会被一个交点分成两段，所以 x x x条直线的交点会多分出来 x x x条线段，利用 V V V可以算出 E E E
每四个点的交点就会在原来2条线断的基础上又增加两个线段 2 C n 4 2C_n^4 2Cn4
E = C n 2 + 2 C n 4 E=C_n^2+2C_n^4 E=Cn2+2Cn4

R = E − V + 2 = C n 2 − C n 4 − n + 2 R=E-V+2=C_n^2-C_n^4-n+2 R=E−V+2=Cn2−Cn4−n+2

多边形外面的区域不算需要 − 1 -1 −1
a n s = R − 1 = E − V + 2 = C n 2 − C n 4 − n + 1 ans=R-1=E-V+2=C_n^2-C_n^4-n+1 ans=R−1=E−V+2=Cn2−Cn4−n+1

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define mp make_pairusing namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
const double eps = 1e-8;
const int NINF = 0xc0c0c0c0;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll mod  = 1e9 + 7;
const ll N = 1e6 + 5;ll qpow(ll x,ll y){ll ans=1;x%=mod;while(y>0){if(y&1) ans=ans*x%mod;x=x*x%mod;y>>=1;}return ans;
}ll C(ll x,ll y){ll ans=1;for(ll i=x;i>x-y;i--){ans=ans*i%mod;}ll res=1;for(ll i=1;i<=y;i++){res=res*i%mod;}return ans*qpow(res,mod-2)%mod;
}int main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);ll n;cin>>n;cout<<((C(n,2)+C(n,4)-n+1)%mod+mod)%mod<<'\n';return 0;
}

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