山西师范大学数学与计算机学院,2018年山西师范大学数学与计算机科学学院609数学之概率论与数理统计考研强化五套模拟题...
一、证明题
1． 设
则
为独立的随机变量序列，证明:若诸服从大数定律.
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
2． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明:
【答案】由于其中
代回原式即得证.
3． 若
【答案】因为
，证明:
.
•，所以得
由此得
结论得证.
4． 设
是来自
的样本，的密度函数为
的方差
一致有界，即存在常数c 使得
【答案】因为
存在，所以级数绝对收敛，从而有
已知，试证明，是
于是
，的有效估计，
从而也是UMVUE.
【答案】总体
所以的费希尔信息量为
，这就是说
又
这就证明了
5． 设
证明【答案】
是
的有效估计，从而也是UMVUE.
诸
是充分统计量. 的联合密度函数为
注意到
是已知常数，令
取
由因子分解定理，
6． 设
是
的充分统计量.
独立，
是已知常数，
的任一无偏估计的C 一R 下界为
独立同分布，其共同的密度函数为
(1)证明:(2)计算
和
和
的均方误差并进行比较；
都是的无偏估计；
的估计中，
，故
最优.
，
(3)证明:在均方误差意义下，在形如【答案】 (1)先计算总体均值为. 这说明是的无偏估计. 又总体分布函数为
，
记
，则Y 的密度函数为
于是有
这表明
也是的无偏估计.
故有
又
从而
由于(3)对形如
，因此在均方误差意义下，的估计有
优于
，故
»
因此当在形如
7． 设
【答案】一方面
另一方面
时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，
的估计中，
，证明:
最优.
(2)无偏估计的方差就是均方误差. 由于
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