笔记-基于Lie群SE(3)的航天器姿轨一体化建模方法

航天器姿态和轨道运动一体化建模方法有：传统的姿轨独立建模方法、基于对偶四元数的建模方法、基于Lie群SE(3)的建模方法。这篇笔记主要针对Lie群SE(3)的航天器姿轨一体化建模方法。

什么是Lie群SO(3)和Lie群SE(3)

SO(3) = 特殊正交群 = {R∈R3×3∣RRT=I,det⁡(R)=1}\left \{ R \in \mathbb{R}^{3 \times 3} | RR^T = I, \det (R) = 1 \right \}{R∈R3×3∣RRT=I,det(R)=1}

SE(3) = 特殊欧氏群 = {T=[Rt0T1]∈R4×4∣R∈SO(3),t∈R3}\left \{ T = \begin{bmatrix} R & t \\ 0^T &1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{4 \times 4} | R \in \text{SO}(3), t \in \mathbb{R}^3 \right \}{T=[R0Tt1]∈R4×4∣R∈SO(3),t∈R3}

直观上来理解，SO(3)的元素是3×33 \times 33×3的正交矩阵，与之对应的就是两个坐标系之间的欧拉转移矩阵，SE(3)的元素是4×44 \times 44×4的矩阵，这个矩阵包含3×33 \times 33×3的正交矩阵（旋转）和3×13 \times 13×1的矢量（平移）。也就是说SO(3)用来描述旋转，SE(3)用来描述旋转加平移。

注释1：默认都是在实数域内，
S: Special
O: Orthogonal
E: Euclidean
3: 3-Dimensional
SO(3): 3维特殊正交群，3D Special Orthogonal Group
SE(3): 3维特殊欧氏群，3D Special Euclidean Group

注释2：一般来讲，矩阵用大写字母不加粗来表示，这里上下文给出的变量符号都比较乱。

注释3：SE(3)是三维实空间（表示位置的向量）与特殊正交空间（表示姿态的矩阵）的半直积，即SE(3)=R3⋉SE(3)\text{SE}(3) = \mathbb{R}^3 ⋉ \text{SE}(3)SE(3)=R3⋉SE(3)

Lie群和Lie代数^[2]

图1：李群和李代数

单航天器姿轨一体化模型^[1]-[3]

^{传统单航天器轨道和姿态运动模型，在航天器本体坐标系中表示：

{C˙BI=CBI(ωB)×R˙I=CBIvBJω˙B+(ωB)×JωB=τc+τdmv˙B+m(ωB)×vB=−(mμ∣∣RI∣∣3)Rb+uc+ud\left \{ \begin{aligned} \dot{\boldsymbol{C}}_B^I &= \boldsymbol{C}_B^I (\boldsymbol{\omega}^B)^{\times} \\ \dot{\boldsymbol{R}}^I &= \boldsymbol{C}_B^I \boldsymbol{v}^B \\ \boldsymbol{J} \dot{\boldsymbol{\omega}}^B + (\boldsymbol{\omega}^B)^{\times} \boldsymbol{J} \boldsymbol{\omega}^B &= \boldsymbol{\tau}_c + \boldsymbol{\tau}_d \\ m \dot{\boldsymbol{v}}^B + m (\boldsymbol{\omega}^B)^{\times} \boldsymbol{v}^B &= - \left( \frac{m \mu}{||\boldsymbol{R}^I||^3} \right) \boldsymbol{R}_b + \boldsymbol{u}_c + \boldsymbol{u}_d \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧C˙BIR˙IJω˙B+(ωB)×JωBmv˙B+m(ωB)×vB=CBI(ωB)×=CBIvB=τc+τd=−(∣∣RI∣∣3mμ)Rb+uc+ud}

^{引入Lie群SE(3)，将上述航天器轨道运动学和动力学方程、姿态运动学和动力学方程进行一体化描述。}

^{用方向余弦矩阵来描述航天器的姿态运动，姿态矩阵C\boldsymbol{C}C满足：

CTC=I3×3,det⁡(C)=1\boldsymbol{C}^T \boldsymbol{C} = \boldsymbol{I}_{3 \times 3}, \quad \det (\boldsymbol{C}) = 1 CTC=I3×3,det(C)=1}

^{所有满足上式约束的矩阵构成一个特殊正交集合，称为Lie群SO(3)，表示为：

SO(3)={C∈R3×3:CTC=I3×3,det⁡(C)=1}\text{SO}(3) = \left \{ \boldsymbol{C} \in \mathbb{R}^{3 \times 3}: \boldsymbol{C}^T \boldsymbol{C} = \boldsymbol{I}_{3 \times 3}, \det (\boldsymbol{C}) = 1 \right \} SO(3)={C∈R3×3:CTC=I3×3,det(C)=1}}

^{航天器的构型通过(RI,CBI)(\boldsymbol{R}^I, \boldsymbol{C}_B^I)(RI,CBI)来描述，Lie群SE(3)的定义：}

^{SE(3)={(RI,CBI):RI∈R3,CBI∈R3×3,CBI∈SE(3)}=R3⋉SE(3)\text{SE}(3) = \left \{ (\boldsymbol{R}^I, \boldsymbol{C}_B^I): \boldsymbol{R}^I \in \mathbb{R}^3, \boldsymbol{C}_B^I \in \mathbb{R}^{3 \times 3}, \boldsymbol{C}_B^I \in \text{SE}(3) \right \} = \mathbb{R}^3 ⋉ \text{SE}(3) SE(3)={(RI,CBI):RI∈R3,CBI∈R3×3,CBI∈SE(3)}=R3⋉SE(3)}

^{基于SE(3)\text{SE}(3)SE(3)的齐次形式来表示航天器的位姿构型：

g=[CBIRI01×31]∈SE(3)∈R4×4\boldsymbol{g} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{C}_B^I & \boldsymbol{R}^I \\ \boldsymbol{0}_{1 \times 3} & 1 \end{bmatrix} \in \text{SE}(3) \in \mathbb{R}^{4 \times 4} g=[CBI01×3RI1]∈SE(3)∈R4×4}

^{令ξ=[(ωB)T,(vB)T]T∈R6\boldsymbol{\xi} = \begin{bmatrix} (\boldsymbol{\omega}^B)^T, (\boldsymbol{v}^B)^T \end{bmatrix} ^T \in \mathbb{R}^6ξ=[(ωB)T,(vB)T]T∈R6，相应的李代数为ξ∨=((ωB)×,(vB))∈so(3)×R3\boldsymbol{\xi}^{\vee} = ((\boldsymbol{\omega}^B)^{\times}, (\boldsymbol{v}^B)) \in \text{so}(3) \times \mathbb{R}^3ξ∨=((ωB)×,(vB))∈so(3)×R3，齐次形式表达式为：

ξ∨=[(ωB)×vB01×31]∈se(3)∈R4×4\boldsymbol{\xi}^{\vee} = \begin{bmatrix} (\boldsymbol{\omega}^B)^{\times} & \boldsymbol{v}^B \\ \boldsymbol{0}_{1 \times 3} & 1 \end{bmatrix} \in \text{se}(3) \in \mathbb{R}^{4 \times 4} ξ∨=[(ωB)×01×3vB1]∈se(3)∈R4×4}

^{因此，基于SE(3)的航天器姿轨耦合运动学方程：

g˙=gξ∨(1)\dot{\boldsymbol{g}} = \boldsymbol{g} \boldsymbol{\xi}^{\vee} \tag{1} g˙=gξ∨(1)}

^{Lie群SE(3)\text{SE}(3)SE(3)的两个伴随映射定义为：

Adg=[CBI03×3(RI)×CBIRI]adξ=[(ωB)×03×3(vB)×(ωB)×](2)\begin{aligned} \text{Ad}_g &= \begin{bmatrix} \boldsymbol{C}_B^I & \boldsymbol{0}_{3 \times 3} \\ (\boldsymbol{R}^I)^{\times} \boldsymbol{C}_B^I & \boldsymbol{R}^I \end{bmatrix} \\ \text{ad}_{\boldsymbol{\xi}} &= \begin{bmatrix} (\boldsymbol{\omega}^B)^{\times} & \boldsymbol{0}_{3 \times 3} \\ (\boldsymbol{v}^B)^{\times} & (\boldsymbol{\omega}^B)^{\times} \end{bmatrix} \end{aligned} \tag{2} Adgadξ=[CBI(RI)×CBI03×3RI]=[(ωB)×(vB)×03×3(ωB)×](2)}

^{上式定义的伴随算子ad\text{ad}ad代表了李代数se(3)\text{se}(3)se(3)与李群SE(3)\text{SE}(3)SE(3)之间的线性运算，其反伴随算子可以通过李代数的对偶运算得到：

adξ∗=adξT=[−(ωB)×−(vB)×03×3−(ωB)×]\text{ad}_{\boldsymbol{\xi}}^* = \text{ad}_{\boldsymbol{\xi}}^T = \begin{bmatrix} -(\boldsymbol{\omega}^B)^{\times} & -(\boldsymbol{v}^B)^{\times} \\ \boldsymbol{0}_{3 \times 3} & -(\boldsymbol{\omega}^B)^{\times} \end{bmatrix} adξ∗=adξT=[−(ωB)×03×3−(vB)×−(ωB)×]}

^{则基于SE(3)的航天器姿轨耦合动力学方程：

Ξξ˙=adξ∗Ξξ+f(Ξ)+Γc+Γd(3)\boldsymbol{\Xi} \boldsymbol{\dot{\xi}} = \text{ad}_{\boldsymbol{\xi}}^* \boldsymbol{\Xi} \boldsymbol{\xi} + \boldsymbol{f}(\boldsymbol{\Xi}) + \boldsymbol{\Gamma}_c + \boldsymbol{\Gamma}_d \tag{3} Ξξ˙=adξ∗Ξξ+f(Ξ)+Γc+Γd(3)}

^其中，

^{Ξ=diag(J,mI3)∈R6×6\boldsymbol{\Xi} = \text{diag} (\boldsymbol{J}, m \boldsymbol{I}_3) \in \mathbb{R}^{6 \times 6}Ξ=diag(J,mI3)∈R6×6为航天器质量与转动惯量构成的矩阵；}

^{f(Ξ)=[MgT,(fg−mμ∣∣RI∣∣3Rb)T]T\boldsymbol{f}(\boldsymbol{\Xi}) = \left [ \boldsymbol{M}_g^{\rm{T}}, (\boldsymbol{f}_g - \frac{m \mu}{||\boldsymbol{R}^I||^3} \boldsymbol{R}_b)^{\rm{T}} \right ] ^{\rm{T}}f(Ξ)=[MgT,(fg−∣∣RI∣∣3mμRb)T]T为航天器所受的重力梯度力矩和重力 (存疑)；}

^{Γc=[τcT,ucT]T∈R6\boldsymbol{\Gamma}_c = \left[ \boldsymbol{\tau}_c^{\rm{T}}, \boldsymbol{u}_c^{\rm{T}} \right]^{\rm{T}} \in \mathbb{R}^6Γc=[τcT,ucT]T∈R6为航天器的控制输入；}

^{Γd=[ΔdτT,ΔdfT]T∈R6\boldsymbol{\Gamma}_d = \left[ \Delta \boldsymbol{d}_\tau^{\rm{T}}, \Delta \boldsymbol{d}_f^{\rm{T}} \right]^{\rm{T}} \in \mathbb{R}^6Γd=[ΔdτT,ΔdfT]T∈R6为航天器所受的外部总干扰。}

^{注释3：手写公式还是挺麻烦的。一般而言，转置符号(⋅)T(\cdot)^{\rm{T}}(⋅)T应该是正体，变量应该都是斜体，标量不加粗，矢量加粗，矩阵用大写，空间或域用空心体，下标、上标等符号一般用正体，函数名称或其他单词缩写简写都是正体。}

^{注释4：文献[3]中的公式基本是正确的，小部分地方有瑕疵。}

^{航天器相对姿轨一体化模型}

^{航天器姿轨一体化相对动力学模型来描述航天器轨迹跟踪问题。设目标轨迹的期望位姿构型为gd\boldsymbol{g}_dgd，跟踪航天器的实际位姿构型为ga\boldsymbol{g}_aga，则航天器的位置和姿态跟踪误差可以表示为：

ge=gd−1ga=[CeRe01×31]\boldsymbol{g}_e = \boldsymbol{g}_d^{-1} \boldsymbol{g}_a = \begin{bmatrix} \boldsymbol{C}_e & \boldsymbol{R}_e \\ \boldsymbol{0}_{1\times 3} & 1 \end{bmatrix} ge=gd−1ga=[Ce01×3Re1]}

^{其中，Ce=(CBI)dTCBI\boldsymbol{C}_e = (\boldsymbol{C}_B^I)_d^T \boldsymbol{C}_B^ICe=(CBI)dTCBI，Re=(CBI)dT(RI−RdI)\boldsymbol{R}_e = (\boldsymbol{C}_B^I)_d^T (\boldsymbol{R}^I - \boldsymbol{R}_d^I)Re=(CBI)dT(RI−RdI)，下角标ddd表示目标轨迹的位姿参数。该跟踪误差用SE(3)\text{SE}(3)SE(3)上的指数坐标来一体化描述：

η=[Φφ]=[log⁡SE(3)ge]−1∈R6\boldsymbol{\eta} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\Phi} \\ \boldsymbol{\varphi} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \log_{\text{SE}(3)} \boldsymbol{g}_e \end{bmatrix} ^{-1} \in \mathbb{R}^6 η=[Φφ]=[logSE(3)ge]−1∈R6}

^{其中，[⋅]−1[\cdot]^{-1}[⋅]−1为(⋅)∨(\cdot)^{\vee}(⋅)∨的逆映射，log⁡SE(3)\log_{\text{SE}(3)}logSE(3)为SE(3)\text{SE}(3)SE(3)上的对数映射，可以表示为：

log⁡SE(3)=[Φ×φ00]\log_{\text{SE}(3)} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\Phi}^{\times} & \boldsymbol{\varphi} \\ \boldsymbol{0} & 0 \end{bmatrix} logSE(3)=[Φ×0φ0]}

^{式中，跟踪误差η\boldsymbol{\eta}η由两部分组成，Φ∈R3\boldsymbol{\Phi} \in \mathbb{R}^3Φ∈R3表示姿态部分的跟踪误差，由SO(3)\text{SO}(3)SO(3)上的指数坐标计算得到，φ∈R3\boldsymbol{\varphi} \in \mathbb{R}^3φ∈R3表示位置跟踪误差，两者的具体表达式为：

Φ×={03×3θ=0θ2sin⁡θ(Ce−CeT)θ∈(−π,π),θ≠0\boldsymbol{\Phi}^{\times} = \left \{ \begin{array}{ll} \boldsymbol{0}_{3 \times 3} & \quad \theta = 0 \\ \frac{\theta}{2 \sin \theta} (\boldsymbol{C}_e - \boldsymbol{C}_e^T) & \quad \theta \in (- \pi, \pi), \theta \neq 0 \end{array} \right. Φ×={03×32sinθθ(Ce−CeT)θ=0θ∈(−π,π),θ=0}

^{和

{φ=S−1(Φ)ReS(Φ)=I3×3+1−cos⁡θθ2Φ×+θ−sin⁡θθ3(Φ×)2\left \{ \begin{aligned} \boldsymbol{\varphi} &= \boldsymbol{S}^{-1}(\boldsymbol{\Phi}) \boldsymbol{R}_e \\ \boldsymbol{S}(\Phi) &= \boldsymbol{I}_{3 \times 3} + \frac{1 - \cos \theta}{\theta ^2} \boldsymbol{\Phi}^{\times} + \frac{\theta - \sin \theta}{\theta ^3} (\boldsymbol{\Phi}^{\times})^2 \end{aligned} \right. ⎩⎨⎧φS(Φ)=S−1(Φ)Re=I3×3+θ21−cosθΦ×+θ3θ−sinθ(Φ×)2}

^{其中，θ\thetaθ为欧拉旋转角。}

^{。。。。。。}

^{速度跟踪误差可表示为：

ξ~=[ΔωT,ΔvT]T=ξ−Adge−1ξd\tilde{\boldsymbol{\xi}} = \begin{bmatrix} \Delta \boldsymbol{\omega}^T, \Delta \boldsymbol{v}^T \end{bmatrix} ^T = \boldsymbol{\xi} - \text{Ad}_{\boldsymbol{g}_e^{-1}} \boldsymbol{\xi}_d ξ~=[ΔωT,ΔvT]T=ξ−Adge−1ξd}

^{其中，ξd\boldsymbol{\xi}_dξd为目标轨迹的速度。}

^{基于Lie群SE(3)\text{SE}(3)SE(3)指数坐标η\boldsymbol{\eta}η描述航天器位姿跟踪误差，则误差运动学方程可以表示为：

η˙=G(η)ξ~(4)\dot{\boldsymbol{\eta}} = \boldsymbol{G}(\boldsymbol{\eta}) \tilde{\boldsymbol{\xi}} \tag{4} η˙=G(η)ξ~(4)}

^{其中，

G(η)=[A(Φ)0T(Φ,φ)A(Φ)]\boldsymbol{G}(\boldsymbol{\eta}) = \begin{bmatrix} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{\Phi}) & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{T}(\boldsymbol{\Phi}, \boldsymbol{\varphi}) & \boldsymbol{A}(\boldsymbol{\Phi}) \end{bmatrix} G(η)=[A(Φ)T(Φ,φ)0A(Φ)]}

^{A(Φ)=I+12Φ×+(1θ2−1+cos⁡θ2θsin⁡(θ))(Φ×)2\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\Phi}) = \boldsymbol{I} + \frac{1}{2} \boldsymbol{\Phi}^{\times} + \left( \frac{1}{\theta^2} - \frac{1 + \cos \theta}{2 \theta \sin (\theta)} \right) (\boldsymbol{\Phi}^{\times})^2 A(Φ)=I+21Φ×+(θ21−2θsin(θ)1+cosθ)(Φ×)2}

^{T(Φ,φ)=12(S(Φ)φ)×A(Φ)+(1θ2−1+cos⁡θ2θsin⁡(θ))(ΦφT+ΦTφA(Φ))\boldsymbol{T}(\boldsymbol{\Phi}, \boldsymbol{\varphi}) = \frac{1}{2} (\boldsymbol{S}(\boldsymbol{\Phi}) \boldsymbol{\varphi})^{\times} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{\Phi}) + \left( \frac{1}{\theta^2} - \frac{1 + \cos \theta}{2 \theta \sin (\theta)} \right) \left( \boldsymbol{\Phi} \boldsymbol{\varphi}^T + \boldsymbol{\Phi} ^T \boldsymbol{\varphi} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{\Phi}) \right) T(Φ,φ)=21(S(Φ)φ)×A(Φ)+(θ21−2θsin(θ)1+cosθ)(ΦφT+ΦTφA(Φ))}

^{。。。。。。}

^{航天器相对姿轨一体化动力学方程：

Ξξ~˙=adξ∗Ξξ+f(Ξ)+Γc+Γd+Ξ(adξ~Adge−1ξd−Adge−1ξ˙d)(5)\boldsymbol{\Xi} \dot{\tilde{\boldsymbol{\xi}}} = \text{ad}_{\boldsymbol{\xi}}^* \boldsymbol{\Xi} \boldsymbol{\xi} + \boldsymbol{f}(\boldsymbol{\Xi}) + \boldsymbol{\Gamma}_c + \boldsymbol{\Gamma}_d + \boldsymbol{\Xi} \left(\text{ad}_{\tilde{\boldsymbol{\xi}}} \text{Ad}_{\boldsymbol{g}_e^{-1}} \boldsymbol{\xi}_d - \text{Ad}_{\boldsymbol{g}_e^{-1}} \dot{\boldsymbol{\xi}}_d \right) \tag{5} Ξξ~˙=adξ∗Ξξ+f(Ξ)+Γc+Γd+Ξ(adξ~Adge−1ξd−Adge−1ξ˙d)(5)}

^{当考虑模型不确定性时，实际的惯量和质量矩阵可以表示为Ξ1=Ξ+ΔΞ\boldsymbol{\Xi}_1 = \boldsymbol{\Xi} + \Delta \boldsymbol{\Xi}Ξ1=Ξ+ΔΞ，其中ΔΞ\Delta \boldsymbol{\Xi}ΔΞ即为模型不确定性部分。此时相对动力学方程可以表示为：

ξ~˙=H+Δd+Ξ−1Γc+Ξ−1f(Ξ)(6)\dot{\tilde{\boldsymbol{\xi}}} = \boldsymbol{H} + \Delta \boldsymbol{d} + \boldsymbol{\Xi}^{-1} \boldsymbol{\Gamma}_c + \boldsymbol{\Xi}^{-1} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{\Xi}) \tag{6} ξ~˙=H+Δd+Ξ−1Γc+Ξ−1f(Ξ)(6)}

^{其中，

H=...\boldsymbol{H} = ... H=...}

^{Δd=...\Delta \boldsymbol{d} = ... Δd=...}

^{Δd\Delta \boldsymbol{d}Δd为外部干扰和模型不确定性部分产生的系统总干扰。在进行控制器设计时，有如下假设：Δd\Delta \boldsymbol{d}Δd有界，即∣∣Δd∣∣≤δ1||\Delta \boldsymbol{d}|| \leq \delta_1∣∣Δd∣∣≤δ1，其中δ1\delta_1δ1为一个正常数。}

^{航天器姿轨一体化轨迹跟踪控制器设计}

^{变量是哪些？轨迹跟踪误差η\boldsymbol{\eta}η和速度跟踪误差ξ~\tilde{\boldsymbol{\xi}}ξ~；}
^{方程是哪个？方程(3)(3)(3)和方程(6)(6)(6)；}
^{目的是什么？使变量η\boldsymbol{\eta}η和ξ~\tilde{\boldsymbol{\xi}}ξ~都收敛到0；}
^{控制方法是哪种？快速终端滑模控制；}
^{约束条件有哪些？外部干扰、模型不确定性。}

^{文献[2]的3.3节采用的是快速终端滑模控制，第四章加入执行器输入饱和的约束条件，采用基于扩展状态观测器的事件驱动自适应滑模控制方法。}

^{快速终端滑模控制方法}

^{快速终端滑模面：

S=ξ~+ϑ1η+ϑ2sigα(η)\boldsymbol{S} = \tilde{\boldsymbol{\xi}} + \boldsymbol{\vartheta}_1 \boldsymbol{\eta} + \boldsymbol{\vartheta}_2 \text{sig}^{\alpha} (\boldsymbol{\eta}) S=ξ~+ϑ1η+ϑ2sigα(η)}

^{则

S˙=ξ~˙+ϑ1η˙+αϑ2Λα−1(η)η˙\dot{\boldsymbol{S}} = \dot{\tilde{\boldsymbol{\xi}}} + \boldsymbol{\vartheta}_1 \dot{\boldsymbol{\eta}} + \alpha \boldsymbol{\vartheta}_2 \boldsymbol{\Lambda}^{\alpha - 1} (\boldsymbol{\eta}) \dot{\boldsymbol{\eta}} S˙=ξ~˙+ϑ1η˙+αϑ2Λα−1(η)η˙}

^{滑模控制器：

Γc=−Ξ(ϑ1G(η)ξ~+αϑ2Λα−1(η)G(η)ξ~)−f(Ξ)−ΞH−K1sgn(S)+K2S(7)\begin{aligned} \boldsymbol{\Gamma}_c &= - \boldsymbol{\Xi} \left( \boldsymbol{\vartheta}_1 \boldsymbol{G}(\boldsymbol{\eta}) \tilde{\boldsymbol{\xi}} + \alpha \boldsymbol{\vartheta}_2 \boldsymbol{\Lambda}^{\alpha - 1}(\boldsymbol{\eta}) \boldsymbol{G}(\boldsymbol{\eta}) \tilde{\boldsymbol{\xi}} \right) \\ &- \boldsymbol{f}(\boldsymbol{\Xi}) - \boldsymbol{\Xi} \boldsymbol{H} - \boldsymbol{K}_1 \text{sgn}(\boldsymbol{S}) + \boldsymbol{K}_2 \boldsymbol{S} \end{aligned} \tag{7} Γc=−Ξ(ϑ1G(η)ξ~+αϑ2Λα−1(η)G(η)ξ~)−f(Ξ)−ΞH−K1sgn(S)+K2S(7)}

^{其中，ϑ1=diag(ϑ11I3,ϑ12I3)∈R6×6>0\boldsymbol{\vartheta}_1 = \text{diag} (\vartheta_{11} \boldsymbol{I}_3, \vartheta_{12} \boldsymbol{I}_3) \in \mathbb{R}^{6 \times 6} > 0ϑ1=diag(ϑ11I3,ϑ12I3)∈R6×6>0，ϑ2=diag(ϑ21I3,ϑ22I3)∈R6×6>0\boldsymbol{\vartheta}_2 = \text{diag} (\vartheta_{21} \boldsymbol{I}_3, \vartheta_{22} \boldsymbol{I}_3) \in \mathbb{R}^{6 \times 6} > 0ϑ2=diag(ϑ21I3,ϑ22I3)∈R6×6>0，K1=diag(k11,⋯,k16)\boldsymbol{K}_1 = \text{diag}(k_{11}, \cdots, k_{16})K1=diag(k11,⋯,k16)和K2=diag(k21,⋯,k26)\boldsymbol{K}_2 = \text{diag}(k_{21}, \cdots, k_{26})K2=diag(k21,⋯,k26)均为正定对角阵，且K1\boldsymbol{K}_1K1满足：

λmin⁡(K1)>c1=∣∣ΞΔd∣∣\lambda_{\min} (\boldsymbol{K}_1) > c_1 = ||\boldsymbol{\Xi} \Delta \boldsymbol{d}|| λmin(K1)>c1=∣∣ΞΔd∣∣}

^{αΛα−1(η)\alpha \boldsymbol{\Lambda}^{\alpha-1}(\boldsymbol{\eta})αΛα−1(η)代表什么？应该是sigα(η)\text{sig}^\alpha(\boldsymbol{\eta})sigα(η)的导数。}

^{证明过程和传统滑模方法一样分两个阶段：趋近模态阶段和滑动模态阶段。趋近阶段选取的Lyapunov函数为：

V1=12STΞSV_1 = \frac{1}{2} \boldsymbol{S}^T \boldsymbol{\Xi} \boldsymbol{S} V1=21STΞS}

^{滑动模态阶段选取的Lyapunov函数为：

V2=12ηTηV_2 = \frac{1}{2} \boldsymbol{\eta}^T \boldsymbol{\eta} V2=21ηTη}

^{对于滑模控制器(7)(7)(7)，由两部分组成，前半部分为等效控制，用来保证系统状态到达滑模面S=0\boldsymbol{S} = 0S=0，后半部分−K1sgn(S)+K2S- \boldsymbol{K}_1 \text{sgn}(\boldsymbol{S}) + \boldsymbol{K}_2 \boldsymbol{S}−K1sgn(S)+K2S为切换控制，用于保证系统对模型不确定性和外部扰动的鲁棒性。针对滑模控制方法固有的抖振问题，可以选用饱和函数K1sat(S,ρ)\boldsymbol{K}_1 \text{sat}(\boldsymbol{S}, \rho)K1sat(S,ρ)代替符号函数K1sgn(S)\boldsymbol{K}_1 \text{sgn}(\boldsymbol{S})K1sgn(S)，也可以设计一种自适应控制器，用自适应项代替符号函数：

K1sgn(S)⇒diag(K1j∣Sj∣+εK3j2)S\boldsymbol{K}_1 \text{sgn}(\boldsymbol{S}) \Rightarrow \text{diag} \left( \frac{{K}_{1j}}{|{S}_j| + \varepsilon {K}_{3j}^2} \right) \boldsymbol{S} K1sgn(S)⇒diag(∣Sj∣+εK3j2K1j)S}

^{其中，ε\varepsilonε为一个小的正数，K3∈R6×1\boldsymbol{K}_3 \in \mathbb{R}^{6 \times 1}K3∈R6×1，并且K3j>0,j=1,⋯,6{K}_{3j} > 0, j = 1, \cdots, 6K3j>0,j=1,⋯,6，且满足如下自适应律：

K˙3j=−λεK1j∣Sj∣K3j∣Sj∣+εK3j2\dot{K}_{3j} = - \lambda \frac{\varepsilon {K}_{1j} |{S}_j| {K}_{3j}}{|{S}_j| + \varepsilon {K}_{3j}^2} K˙3j=−λ∣Sj∣+εK3j2εK1j∣Sj∣K3j}

^{证明过程所选的Lyapunov函数为：

V3=12STΞS+12λ∑j=16K3j2V_3 = \frac{1}{2} \boldsymbol{S}^T \boldsymbol{\Xi} \boldsymbol{S} + \frac{1}{2 \lambda} \sum_{j=1}^6 K_{3j}^2 V3=21STΞS+2λ1j=1∑6K3j2}

^{注释：文献[2]中关于SjS_jSj、K1jK_{1j}K1j和K3jK_{3j}K3j的符号都不应该加粗，这些是标量。文章中的小错误不少，但大错误没有。该文献所对比的方法为线性滑模方法（LSM）、终端滑模方法（TSM）和快速终端滑模方法（FTSM）：

LSM：S=x˙+ϑ1xTSM：S=x˙+ϑ2sigα(x)LSM：S=x˙+ϑ1x+ϑ2sigα(x)\begin{aligned} \text{LSM：} & \boldsymbol{S} = \dot{\boldsymbol{x}} + \boldsymbol{\vartheta}_1 \boldsymbol{x} \\ \text{TSM：} & \boldsymbol{S} = \dot{\boldsymbol{x}} + \boldsymbol{\vartheta}_2 \text{sig}^{\alpha} (\boldsymbol{x}) \\ \text{LSM：} & \boldsymbol{S} = \dot{\boldsymbol{x}} + \boldsymbol{\vartheta}_1 \boldsymbol{x} + \boldsymbol{\vartheta}_2 \text{sig}^{\alpha} (\boldsymbol{x}) \end{aligned} LSM：TSM：LSM：S=x˙+ϑ1xS=x˙+ϑ2sigα(x)S=x˙+ϑ1x+ϑ2sigα(x)}

^{注释：几个定义：

sigα(x)=[∣x1∣αsgn(x1),⋯,∣xn∣αsgn(xn)]T∈Rn\text{sig}^{\alpha}(\boldsymbol{x}) = \begin{bmatrix} |x_1|^\alpha \text{sgn}(x_1), \cdots, |x_n|^\alpha \text{sgn}(x_n)\end{bmatrix}^T \in \mathbb{R}^n sigα(x)=[∣x1∣αsgn(x1),⋯,∣xn∣αsgn(xn)]T∈Rn}

^{Λα(x)=diag([∣x1∣α,⋯,∣xn∣α])\boldsymbol{\Lambda}^{\alpha}(\boldsymbol{x}) = \text{diag} \left( \begin{bmatrix} |x_1|^\alpha, \cdots, |x_n|^\alpha \end{bmatrix} \right) Λα(x)=diag([∣x1∣α,⋯,∣xn∣α])}

^{其中，sgn(⋅)\text{sgn}(\cdot)sgn(⋅)为符号函数，diag(⋅)\text{diag}(\cdot)diag(⋅)为对角矩阵。}

^仿真分析

^{初始参数设置：

目标航天器轨道参数、追踪航天器轨道参数

期望相对姿态和轨道参数

追踪航天器质量和转动惯量的标称部分+不确定性部分

追踪航天器所受的干扰力和干扰力矩

执行机构输出上限}

^{控制器参数设置、对比仿真。}

^参考文献

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