文章目录

- 1.1 状态变量 What is a State
- 1.2 空间状态表达式 State Space Representation
- - 1.2.1 Python代码实现State Space Model
Reference

Why we need state space model?
经典控制理论使用传递函数处理Single Input Single Outpu (SISO)，将系统看作黑箱，控制系统的设计局限于Input, Output, Error, 忽略了系统中的其他中间变量, 无法揭示系统的全部运动状态[2][3]
状态空间表示法提供一种方便简捷的方法来针对多输入、多输出的系统进行分析并建立模型, 能够将系统的内部机理表示出来 [1]

1.1 状态变量 What is a State

状态变量(State)是一组足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组独立变量[4]
n阶微分方程有n个State

1.2 空间状态表达式 State Space Representation

如图所示，小车质量为m, 在力F的作用下，沿水平轴加速运动，并且加速度随时间Quadratic growth,
根据牛顿第二运动定律，运动关系写作
F=ma=t2F = ma = t^2F=ma=t2
同时速度(velocity) vvv，加速度(acceleration) aaa 分别是位置(position) ppp 的一阶导数p˙=v\dot{p} = vp˙=v,
二阶导数p¨=a\ddot{p}=ap¨=a.

State Space Representation for the Motion of 1D Car
小车运动过程使用二阶微分方程表示，所以状态变量最小个数为2

1.2.1 Python代码实现State Space Model

#exmpale01 - demo of state space model
import numpy as np
from scipy.signal import StateSpace, lsim
import matplotlib.pyplot as plt
m = 1 #kg
A = np.asarray([[0., 1.],
[0., 0.]])
B = np.asarray([[0.],[1. / m]])
C = np.asarray([[1., 0.]])
D = np.asarray([[0.]])
# define the continouse time linear system
cart_sys = StateSpace(A,B,C,D)
t = np.arange(1,10,1e-3)# 0~10 seconds, 1e-3 per step
# define control input
F = t**2
# simulate the system
_, y, x = lsim(cart_sys, F, t, X0=[0., 0.])  # initial state X0
# plot
plt.figure(dpi=100)
plt.plot(t, y)
plt.grid()
plt.ylabel('p [m]')
plt.xlabel('t [s]')
plt.show()

Reference

[1].State-space representation - Wikipedia
[2]. 线性系统理论（一）状态空间描述 - 系统与控制的文章 - 知乎
[3]. 现代控制理论 (刘豹,第三版) (douban.com)
[4]. 状态空间与标准型 - 三脚猫Frank的文章 - 知乎

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