全排列及相关扩展算法（一）——基础的回溯递归实现全排列算法

1.全排列的定义和公式：从n个数中选取m（m<=n）个数按照一定的顺序进行排成一个列，叫作从n个元素中取m个元素的一个排列。由排列的定义，显然不同的顺序是一个不同的排列。从n个元素中取m个元素的所有排列的个数，称为排列数。从n个元素取出n个元素的一个排列，称为一个全排列。全排列的排列数公式为n!，通过乘法原理可以得到。

2.时间复杂度： n个数（字符、对象）的全排列一共有n!种，所以全排列算法至少时O(n!)的。如果要对全排列进行输出，那么输出的时间要O(n*n!)，因为每一个排列都有n个数据。所以实际上，全排列算法对大型的数据是无法处理的，而一般情况下也不会要求我们去遍历一个大型数据的全排列。

3.全排列算法解决思路：假设现有1 2 3 三个数，我们构造全排列的方式为：先确定第一位1，然后可选（2，3）（3，2）作为后序的排列组合，这样以1作为首位的全排列就有（1，2，3）（1，3，2）两种，然后再以2作为第一位，从而构造出（2，1，3）（2，3，1）.最后是（3，1，2）（3，2，1）。即求n个数的全排列=先枚举确立一个数，然后求n-1的全排列。这与我们常见的回溯递归法基本一样。当所有的位数都确定完毕，即成为一组完整的排列数，也就是递归的出口。

4.全排列算法代码：

void Permutation(int A[], int m, int n)
{if (m == n)   {Print(A, n);Count++;}else{for (int i = m; i < n; i++){Swap(A[m], A[i]);Permutation(A, m + 1, n);Swap(A[m], A[i]);}}
}

当m==n即所有位数都确定，即为一组完整的排列数，否则枚举确定第m位数（使第m位依次与后面位数交换），递归返回后再回溯还原。

注：Print函数功能为输出A数组前n位，Swap函数为交换两个数，Count为全局变量，记录排列数

void Swap(int &a, int &b)
{a == b ? 0 : a ^= b ^= a ^= b;
}void Print(int A[], int n)
{for (int i = 0; i < n; i++){printf("%d%c", A[i], i == n - 1 ? '\n' : ' ');}
}

外部调用：

int main()
{int A[] = { 1,2,3,4 };int n = sizeof(A) / sizeof(A[0]);Permutation(A, 0, n);printf("%d\n", Count);system("pause");return 0;
}

5.时间复杂度

此算法可以列出从A数组中第m个元素到第n个元素的所有排列，注意m，n可以在任意位置。算法的复杂度在于for循环和递归，最大的for是n，递归为n-1所以为O(n*n-1*n-2*...1)=O(n!)

6.运行截图

注：函数调用意为：从第2位到第4位（不包括）的全排列，故收影响的排列只有（1，2，3，4，5）（1，2，4，3，5）

由于我们的Print函数是从0位输出到n位的，所以只打印了0-3位，此样例只是辅助说明Permutation函数中m和n参数的作用。

7.参考文档

https://wenku.baidu.com/view/8c79a2facc17552706220880.html

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