前言：

这篇博文，我写了好几天……，里面涉及的基础概念比较多，内容比较多，举例也比较多，想搞清楚明白就难免 我自己都会觉得啰嗦，我整理了目录出来，看完需要一点时间，可以自行根据需要、感兴趣的 选择阅读、浏览，如果你有耐心也可以全部看完，哈哈哈……

目录

浮点数概念：

float类型（单精度）的存储格式：

float类型（单精度）的33.14：

科学计数法表示float类型（单精度）的二进制小数：

按照IEEE 754标准存储 float （单精度）浮点数：

说明：

double类型（双精度）的存储格式：

double类型（双精度）的33.14：

科学计数法表示double类型（双精度）的二进制小数：

按照IEEE 754标准存储 double （双精度）浮点数：

IEEE 754标准定义的浮点数四种精度类型的分类归纳：

IEEE 754标准定义的 六大类 浮点数（理解）：

（单精度，双精度）浮点数中的最值表示归纳：

Java程序输出 float类型和 double类型浮点数的二进制码：

对于双精度浮点数存储时尾数最低位不用 加一 存储的大概规则：

浮点数的舍入(了解)（浮点数偶尔运算时产生精度丢失 原因浅析）

单精度浮点数和双精度浮点数的有效数字（有效位数，有效精度，有效范围） 是怎么算出来的？

单精度的有效位数 即：

双精度的有效位数 即：

延伸双精度的有效位数 即：

单精度的有效位数是：

双精度的有效位数是：

延伸双精度的有效位数是：

总结：

浮点数概念：

浮点数，在数学中称为实数，是指小数点在逻辑上不固定的数，（是属于有理数中某特定子集的数的数字表示，在计算机中用以近似表示任意某个实数。具体的说，这个实数由一个整数或定点数（即尾数）乘以某个基数（计算机中通常是2）的整数次幂得到，这种表示方法类似于基数为10的科学计数法。）

在计算机中与所有的其他数据一样，浮点数也要用二进制表示，但是浮点数的二进制表示形式并没有像整数那么简单。

IEEE 在1985年制定了IEEE 754标准 https://baike.baidu.com/item/IEEE%20754/3869922?fr=aladdin 统一浮点数的存储格式，现在，大多数的计算机都遵守这一标准，在很大的程度上改善了各种软件的可移植性。

在各大编程语言中，最长常见的两类浮点数是单精度（Java中用 float 类型表示）和双精度（Java中用 double 类型表示）浮点数，IEEE 754对它们的存储格式做了严格的规定！

下面由我来浅谈一下浮点数的存储格式吧：

先看一张图：

为什么不同类型的整数比较会相等，而不同类型的浮点数比较却不相等呢？ 整数都知道，它的存储相对来说比较简单，

比如： int类型 的 6688 二进制码为： 00000000 00000000 00011010 00100000 （4个字节（也就是32位））

long类型的 6688 二进制码为： 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00011010 00100000 （8个字节（也就是64位））

它们在底层存储的格式是一样的，只是6688在int 类型和 long类型中所占用的字节大小不一样而已，这很简单

但为什么浮点数的float和double相比较就不行呢？

下面先以单精度浮点数为例，再把双精度浮点数也总结归纳一下：

float类型（单精度）的存储格式：

IEEE 754的标准规定存储格式：即：

规格化数 = 符号位（sign） X  阶码（exponent）X 尾数（mantissa）

N = (-1)S X 2E-127 X 1.M

单精度浮点数（Java中 float 类型）在存储时是占用的4个字节，即32位 ， 符号位和阶码和尾数的格式如图所示：

                       float类型   32位

说明：

  1. sign： 用 1 位来表示符号位，若浮点数是正数，则符号位为 “0”，若是负数，则符号位为 “1”

  2. exponent： 用 8 位来表示存储的阶码，存储的阶码等于规格化数中的指数加上127（固定指数偏移量值），即 阶码 = 指数 + 127（固定指数偏移量值）， 8位表示的存储数值容量可以是255个数字（2^8-1、2的八次方-1（减-就是减的那个符号位）），指数取值数据范围包括正负数就是（-126 ~ 127），由于指数可能是负数，为了处理负指数的情况，IEEE 754 要求指数必须要加上 127（即 固定指数偏移量） 后才能存储 ！

  3. mantissa：尾数使用 23 位来存储，其中尾数中的 “1.” ，不存储，目的就是为了节约存储空间（因为二进制的科学计数法中的整数部分始终都是为1 ！尾数的整数部分已经形成了固化为 1，故这个尾数部分的整数部分的 1 称之为 “恒” ）

  4. Notice：指数取值数据范围的上限和下限：为什么指数的偏移量值的范围是 -126 ~ 127呢？而不是 -128到 127呢？刚开始我也有些疑惑，终于通过各种手段找到了合理而理想的答案，因为8位所能表示的数值一共就只有255个，而在8位中，只有7位有效位数（不表示数值的那一位叫做符号位）由于正数最大只能表示到127， 负数最大只能表示到 -128 ，故指数取值数据范围包括正负数（-126 ~ 127），由于当阶码为0和255的时候后表示存储特殊值，那么实际浮点数的阶码表示范围就是 1 - 254 ，减去固定指数偏移量127 后实际得到指数取值表示范围就是 -126（下限） ~ 127（上限）；计算机中的硬件已经决定了。设想一下，如果最小指数是-127，按E= 指数 + 固定指数偏移量（127），则-127 + 127 = 0, E = 0, 就说明存在非规格化数，这显然不符合IEEE 754标准的设计理念，也违背了IEEE 754 设计之初的初衷， 故指数最下限取 -126，最大上限取 127，这也符合了 E 的表示范围！127 这个固定指数偏移量是IEEE 754 浮点数算术标准规定好的！

  5. 比如：如果指数为 128（特殊指数） 加上固定指数偏移量 127 就得到 255了，这时候根据 IEEE 754的标准，255 阶码 这是表示一个特殊的数，如果这个数的尾数全部都为0时，（以单精度为例）符号位为 0，表示这个浮点数正无穷大 +∞ 二进制表示形式  
    
0 1111 1111 00000000000000000000000 = Infinity

    ，反之亦然，如果是负无穷大，-∞ 则符号位为 1；

    
1 1111 1111 00000000000000000000000 = -Infinity

  6. 比如：如果指数为 -127（特殊指数） 加上固定指数偏移量127 就得到 0 了，这时候根据 IEEE 754的标准， 0 阶码是表示一个特殊的数，如果这个数的阶码，尾数全部都是0时，（以单精度为例），符号位为0，表示这个数就是0.0本身！

     符号位为 0 时则代表这个数就是 0.0
0 0000 0000 00000000000000000000000 = 0.0 符号位为 1时则代表这个数是 -0.0
1 0000 0000 00000000000000000000000 = -0.0 （在数学中不存在-0.0这样的表数方式，在计算机中这样表示是二进制的特性所决定的，相对来说，比较方便，
0.0 本身就等于 -0.0 ，因此不要拿 0.0 和 -0.0 做比较！，除了等于是 true， 其他都是 false ！）

    如果指数为 0000 0000 时，尾数不为0 时，则表示这个数是弱规范数（就是 非规格化数 的另一个名字）

    比如：0 0000 0000 01010001001001010010011 = 3.726001E-39再比如：1 0000 0000 01010001001001010010011 = -3.726001E-39再比如 Java 中 float 单精度浮点数类型的 最小的弱规范数（即 非规格化数）的最小值（这是float能表示的最小值）是：0 0000 0000 00000000000000000000001 = 1.4E-451 0000 0000 00000000000000000000001 = -1.4E-45

float类型（单精度）的33.14：

就以33.14来分解：

先直接得到 33 的二进制数（符号位0可省略，float类型占用的4个字节中 IEEE 754标准规定了 特定有1位符号位来表示正负数！）： 00 10 0001

小数部分是0.14：让小数一直乘以底数（或者叫基数也行），二进制的底数就是2，小于1则用结果继续乘，大于1则用结果减1继续乘，等于1则结束。


0.14 * 2 = 0.28 // 结果小于1，继续乘底数
0.28 * 2 = 0.56 // 结果小于1，继续乘底数
0.56 * 2 = 1.12 // 结果大于1，则减1继续乘底数
0.12 * 2 = 0.24 // 结果小于1，继续乘底数0.24 * 2 = 0.48 // 结果小于1，继续乘底数
0.48 * 2 = 0.96 // 结果小于1，继续乘底数
0.96 * 2 = 1.92 // 结果大于1，则减1继续乘底数
0.92 * 2 = 1.84 // 结果大于1，则减1继续乘底数0.84 * 2 = 1.68 // 结果大于1，则减1继续乘底数
0.68 * 2 = 1.36 // 结果大于1，则减1继续乘底数
0.36 * 2 = 0.72 // 结果小于1，继续乘底数
0.72 * 2 = 1.44 // 结果大于1，则减1继续乘底数0.44 * 2 = 0.88 // 结果小于1，继续乘底数
0.88 * 2 = 1.76 // 结果大于1，则减1继续乘底数
0.76 * 2 = 1.52 // 结果大于1，则减1继续乘底数
0.52 * 2 = 1.04 // 结果大于1，则减1继续乘底数0.04 * 2 = 0.08 // 结果小于1，继续乘底数
0.08 * 2 = 0.16 // 结果小于1，继续乘底数
0.16 * 2 = 0.32 // 结果小于1，继续乘底数
0.32 * 2 = 0.64 // 结果小于1，继续乘底数0.64 * 2 = 1.28 // 结果大于1，则减1继续乘底数（与第二行相同，这样就会一致死循环下去）
0.28 * 2 = 0.56 // 结果小于1，继续乘底数……将小数部分相乘的结果拼接起来，所以 float 类型的 0.14的二进制数表示形式为： 0 010 0011 1101 0111 0000 1 010 0011 1101 ……

（如果小数位是

  1. 比如小数位是 2^-n(不包括2^0和2^-0)，

    1. 比如小数位是 ：2^-1 = 0.5，2^-2=0.25，2^-3 = 0.125，2^-4 = 0.0625，2^-5 =  0.03125 ……（最终结果就是1.0）

  2. 比如小数位是 2^-4+ 的小数保留个位0（由高向低除开0）的小数，

    1. 比如小数位是：2^-4 = 0.0625 （小数位是0.625），

    2. 2^-5 =  0.03125 （小数位是0.3125），

    3. 2^-6= 0.015625（小数位是0.15625），

    4. 2^-7= 0.0078125(小数位是0.78125)，

    5. 2^-8= 0.00390625（小数位是0.390625），

    6. 2^-9= 0.001953125（小数位是0.1953125）……(最终结果还是1.0)

  3. 比如小数位是 小数位乘以 底数（2）的结果 是 (1.(2^-n))/(2^n)的结果：

    1. 比如（小数位是0.75，那么小数位乘底数的结果就是1.5，大于1减一继续乘底数，那么最终结果就是 1.0，在小数位乘以底数的结果不等于1的情况下，小数位的结果就是(1.(2^-1))/(2^1) = 0.75 ），

    2. （小数位是0.5625，那么小数位乘以底数的结果就是 0.5625 底数的结果就是1.125，大于1减一继续乘底数，那么最终结果就是1.0，在小数位乘以底数的结果不等于1的情况下，小数位的结果就是(1.(2^-3))/(2^1) = 0.5625 ），

    3. （小数位是0.078125，那么小数位乘以底数的结果就是 0.078125 * 2 * 2 * 2 * 2 = 1.25，大于1减一继续乘底数，那么最终结果就是1.0，在小数位乘以底数的结果不等于1的情况下，小数位的结果就是(1.(2^-2))/(2^4) = 0.078125 ），

    4. （小数位是0.2578125，那么小数位乘以底数的结果就是 0.2578125* 2 * 2   = 1.03125，大于1减一继续乘底数，那么最终结果就是1.0，在小数位乘以底数的结果不等于1的情况下，小数位的结果就是(1.(2^-5))/(2^2)= 0.2578125 ），

    5. （小数位是0.1328125，那么小数位乘以底数的结果就是 0.1328125 * 2 * 2 * 2  = 1.0625，大于1减一继续乘底数，那么最终结果就是1.0，在小数位乘以底数的结果不等于1的情况下，小数位的结果就是(1.(2^-2))/(2^3)= 0.03125 ）……

  4. 比如小数位是 小数位乘以底数（2）的结果 是 (1.(2^-4+ 小数保留个位 0（由高向低除开0）的小数)/(2^n)的结果 ：

    1. 比如：（小数位是0.4453125，那么小数位乘以底数的结果就是0.4453125 * 2 * 2 = 1.78125，大于1减一继续乘底数，那么最终结果就是1.0 ，在小数位乘以底数的结果小于1的情况下，小数位的结果就是 (1.(2^-7)/(2^2) = 0.4453125），

    2. （小数位是0.34765625，那么小数位乘以底数的结果就是0.34765625 * 2 * 2 = 1.390625，大于1减一继续乘底数，那么最终结果就是1.0 ，在小数位乘以底数的结果小于1的情况下，小数位的结果就是 (1.(2^-8))/(2^2)= 0.34765625）

    3. （小数位是0.14453125，那么小数位乘以底数的结果就是0.14453125* 2 * 2 * 2 * 2 = 1.15625，大于1减一继续乘底数，那么最终结果就是1.0 ，在小数位乘以底数的结果小于1的情况下，小数位的结果就是 (1.(2^-6))/(2^4)= 0.14453125），

    4. （小数位是0.1640625，那么小数位乘以底数的结果就是0.1640625 * 2 * 2 * 2  = 1.3125，大于1减一继续乘底数，那么最终结果就是1.0 ，在小数位乘以底数的结果小于1的情况下，小数位的结果就是 (1.(2^-5))/(2^3)= 0.1640625）……

）（或者浮点数是 xxx.0）就会比较简单：）（但是如果小数位乘以底数的（次数）长度 大于了 尾数 所能表示的位数 ，都是会造成不精确的浮点数，（浮点数只是一个近似值，并不是一个绝对值！）flaot 和double都是一样！）

比如： 0.0625 只需要乘4次：（因为0.0625是2的负4次方积）（即 （2^0）= 1 / (2^4) = 2^-4 = 0.0625 ）


0.0625 * 2 = 0.125 // 小于1，继续乘底数
0.125 * 2 = 0.25 // 小于1，继续乘底数
0.25 * 2 = 0.5 // 小于1，继续乘底数
0.5 * 2 = 1.0 // 等于1，结束将小数部分相乘的结果拼接起来，0.0625的二进制完整表示形式为：0. 0001
二进制的科学计数法表示为 ： 1.0e-4 （或者 1.e-4 或者 1e-4）

科学计数法表示float类型（单精度）的二进制小数：

把 33.14 的 整数二进制和小数部分二进制拼接起来，采用科学计数法来表示二进制小数

33.14 = 00 10 0001.0 010 0011 1101 0111 0000 1 010 0011 1101 ……（符号位不要，存储的时候已经有一个 bit 表示！）

底数： 因为是二进制小数，所以这里的底数是 2 ，不是十进制小数，（这里使用 E或者e 来表示底数 2）

转换成科学计数法即：

10 0001.0 010 0011 1101 0111 0000 1 010 0011 1101 …… = 1.00001 0 0100 0111 1010 1110 0 001 0100 0111 101……*E+5

= 1.0000 1001 0001 1110 1011 100 * E+5 （取23位尾数就够了！）

指数：会看到这里的float的33.14的二进制小数的科学计数法指数 为5，

打个比方：

（把0.1640625的二进制位转换成二进制的科学计数法即：）（让小数一直乘以底数，二进制的底数就是2，小于1则用结果继续乘，大于1则用结果减1继续乘，等于1则结束。）

0.1640625 * 2 = 0.328125 // 小于1，继续乘底数
0.328125 * 2 = 0.65625 // 小于1，继续乘底数
0.65625 * 2 = 1.3125; // 大于1，减一继续乘底数
0.3125 * 2 = 0.625; //  小于1，继续乘底数
0.625 * 2 = 1.25; // 大于1，减一继续乘底数
0.25 * 2 = 0.5; // 小于1，继续乘底数
0.5 * 2 = 1.0 // 等于1，结束

0.1640625的整数和小数拼接起来转换成二进制就是就是： 0 0010101 = 1.0101E-3 ；

所以0.1640625的二进制的小数科学计数法指数 就是 -3

按照IEEE 754标准存储 float （单精度）浮点数：

IEEE 754的标准规定存储格式：即：

规格化数 = 符号位（sign） X  阶码（exponent）X 尾数（mantissa）

或者 N = (-1)S X 2E-127  X 1.M

单精度浮点数（Java中 float 类型）在存储时是占用的4个字节，即32位 ， 符号位和阶码和尾数的格式如图所示：

  float类型   32位

说明：

  1. sign： 用 1 位来表示符号位，若浮点数是正数，则符号位为 “0”，若是负数，则符号位为 “1”

  2. exponent： 用 8 位来表示存储的阶码，存储的阶码等于规格化数中的指数加上127（固定指数偏移量值），即 阶码 = 指数 + 127（固定指数偏移量值）， 8位表示的存储数值容量可以是255个数字（2^8-1、2的八次方-1（减-就是减的那个符号位）），指数取值数据范围包括正负数就是（-126 ~ 127），由于指数可能是负数，为了处理负指数的情况，IEEE 754 要求指数必须要加上 127（即 固定指数偏移量） 后才能存储 ！

  3. mantissa：尾数使用 23 位来存储，其中尾数中的 “1.” ，不存储，目的就是为了节约存储空间（因为二进制的科学计数法中的整数部分始终都是为1 ！尾数的整数部分已经形成了固化为 1，故这个尾数部分的整数部分的 1 称之为 “恒” ）

  4. Notice：指数取值数据范围的上限和下限：为什么指数的偏移量值的范围是 -126 ~ 127呢？而不是 -128到 127呢？刚开始我也有些疑惑，终于通过各种手段找到了合理而理想的答案，因为8位所能表示的数值一共就只有255个，而在8位中，只有7位有效位数（不表示数值的那一位叫做符号位）由于正数最大只能表示到127， 负数最大只能表示到 -128 ，故指数取值数据范围包括正负数（-126 ~ 127），由于当阶码为0和255的时候后表示存储特殊值，那么实际浮点数的阶码表示范围就是 1 - 254 ，减去固定指数偏移量127 后实际得到指数取值表示范围就是 -126（下限） ~ 127（上限）；计算机中的硬件已经决定了。设想一下，如果最小指数是-127，按E= 指数 + 固定指数偏移量（127），则-127 + 127 = 0, E = 0, 就说明存在非规格化数，这显然不符合IEEE 754标准的设计理念，也违背了IEEE 754 设计之初的初衷， 故指数最下限取 -126，最大上限取 127，这也符合了 E 的表示范围！127 这个固定指数偏移量是IEEE 754 浮点数算术标准规定好的！（看单精度浮点数举例请往上翻

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