【数论】四则运算的取模处理

2024-04-11 02:44:47

一、前言

在日常的算法题学习中，我们有时会遇到一些题目中所需要处理的数据比较大。由于计算机的特点，我们直接处理这些大数据是会出问题的，为了避免出现这样的问题，题目中往往需要对计算中的数据或者结果取模处理，但是我们往往不能等到所有的计算结束后再取模处理，因为这样数据往往已经超出规定的范围了。因此，我们在进行运算的时候就要同时进行取模处理，在本篇博客中，会简单介绍一下四则运算的取模处理，但是限制与篇幅问题，本博客只会直接介绍处理方法，对于原理则不做证明。

二、加法运算取模

加法取模的处理是比较简单的。
(A + B) % mod = ((A % mod) + (B % mod)) % mod

三、乘法运算取模

乘法取模运算取模的操作方法与加法运算类似
(A * B) % mod = ((A % mod) * (B % mod)) % mod

四、减法运算取模

减法取模运算同样与加法乘法类似，但是有一点需要注意的是，由于在进行减法运算后结果可能是负数，因此需要加上一个mod后再取模。
(A - B) % mod =((A % mod) - (B % mod) +mod) % mod

五、除法运算取模

除法运算取模是不是也和上面的取模运算一样是
(A / B) % mod = ((A % mod) / (B % mod)) % mod呢？
答案是否定的，随便代入几个数进去验证一下就会发现上面的公式不成立。

对于除法取模而言，我们必须要求出对于除数B关于mod的逆元inv(B),然后得到除法取模公式
(A / B) % mod = ((A % mod) * (inv(B) % mod)) % mod
在这里，B的逆元 inv(B)=B^mod-2，在这里对公式的证明省略（费马小定理）
代码如下，需要时可以直接使用

const int mod = 1e9 + 7;
int quickpow(int a, int b)  //快速幂求a^b%mod
{if (b < 0)return 0;int ret = 1;a %= mod;while (b){if (b & 1)ret = (ret * a) % mod;b >>= 1;a = (a * a) % mod;}return ret;
}
int inv(int a)
{return quickpow(a, mod - 2);
}

作者：Avalon·Demerzel

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