系统学习数字图像处理之频域滤波

最近在看模板匹配，虽然很简单，但还是想认真过下基础，因此把信号处理频域相关的内容，接着图像处理再过一遍。

理论上，对连续变量t的连续函数f(t)的傅里叶变换为F（u），利用f（t）取样后的函数重建f(t),则必须满足取样定理，取样函数的傅里叶变换为F'(U)，它是连续周期的，因此F‘(u)*H(u),就是F（U），即可重建。要注意的是，f(t)必须是连续的带限函数。

关于混淆

一维情况下，在取样过的函数中，混淆总是存在的，尽管原始取样过的函数是带限的，但实践中，我们要做的是限制时间的函数，在我们限制函数的持续时间时，总会引进无限的频率分量（例如对f(t)*h(t)，则实现限制函数的持续时间，但由卷积定理知道它们的结果会产生无限的频率分类，因为H（u）包含无限的频率分类，卷积后也是）。因此，没有有限持续时间的函数是带限的。反之，一个带限函数，一定从-∞扩展到﹢∞。所以，用有限长度的取样记录，混淆不可避免。因为我们不可能得到带限函数。

正如一维情况下一样，图像中（二维情况）混淆也是不可避免的。包括空间混淆和时间混淆。主要研究空间混淆，即X,Y方向的有害频率分量，而时间的混淆，主要体现在车轮看上去与实际转速相反的例子上，因为人眼采样率低于车轮转速，导致高频被混淆成低频了。

图像的空间混淆主要是认为引入的缺陷，如线状特征中的锯齿，伪高光及原图像中不存在的模式。

通过稍微散焦被数字化的场景来削弱高频可以降低混淆的影响，但一定是在取样前。

空间混淆，主要是欠取样引起的，因此，采用像素复制的方式，进行图像重取样时，混淆的影响会更坏。这在很强边缘处看起来就是锯齿。对于内插，采用双线性内插，则锯齿现象会减小。同时，为减小混淆，在缩小图像之前，稍微模糊一下图像。

在数字图像中，当扫描介质印刷物（如报纸）时，或者在具有周期分量的图像中，如果它的间隔与取样间隔可比的时候，就会出现莫尔模式。也就是波纹效应。

对于图像来说，傅里叶谱对图像的平移不敏感，但随着图像的旋转而旋转。但相角很敏感。

图像的灰度信息由傅里叶谱携带，对于图像特性，相位起支配作用。

因为DFT表达式中是周期函数，因此通过DFT的乘积的IDFT计算卷积会出现因为周期的靠近而互相干扰的缠绕问题，需要0填充P>= A + B - 1.一般来说DFT算法对偶数尺寸的阵列执行较快，因此最好选择P为满足条件的最小偶整数。

频域滤波

给定M*N的图像f(x,y),填充为P*Q，平移变换中心，计算F（u,v）,设计滤波器H（u，v），大小与处理后的f（x,y）相同，计算乘积的IDFT，取实部，再移回变换中心，裁剪为M*N。

频域平滑

理想低通（尖锐），巴特沃斯（高阶尖锐，低阶平滑），高斯（平滑）。

实际中，由于理想低通的截止频率不平滑，会有振铃现象，巴特沃斯滤波器在1阶处没有振铃，2阶有但看不出来，随着阶数升高，振铃越明显。高斯则无振铃，因为其DFT也是高斯。但高斯与2阶巴特沃斯相比，效果差点，因此，在需要严格控制低频和高频截止频率的过渡的情况下，巴特沃斯低通是最好的选择。除此之外，高斯最佳。

频域锐化

即高通 = 1-低通。与低通(理想，巴特沃斯，高斯)类似，但要注意的是巴特沃斯D0/Du。

另外还有，拉普拉斯（要注意归一化标定问题），与空域类似的钝化模板，高提升滤波，高频强调滤波。

同态滤波

同时增强对比度和压缩动态范围，利用对图像取自然对数后做频域滤波在取指数，通过降低支配照射分量的影响，允许低灰度变得可见，同时由于高频分量被增强，故反射分量（边缘信息）被明显锐化了。也就是图像的照射分量通常由慢的空间变化来表征，反射分量则往往引起突变这一特性。

选择滤波

即处理指定频段或者频率矩形的小区域。第一类是带阻和带通，第二类是陷波滤波器。其中陷波更有用，例如消除波纹效应。陷波直接处理实际的DFT，无须填充平移，却不产生任何缠绕问题。它的主要应用之一是选择性的修改DFT的局部区域。

以上，对频域滤波做个整体补充个总结，实际中频域滤波是原型化一个实际问题的滤波器的最快速，直接，有效的方法。

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