ZOJ - 2865 A very easy task

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二项式定理：

${ (x+y) }^{ n }={ C }_{ n }^{ 0 }{ x }^{ n }{ y }^{ 0 }+{ C }_{ n }^{ 1 }{ x }^{ n-1 }{ y }^{ 1 }+{ C }_{ n }^{ 2 }{ x }^{ n-2 }{ y }^{ 2 }+--+{ C }_{ n }^{ n-1 }{ x }^{ 1 }{ y }^{ n-1 }+{ C }_{ n }^{ n }{ x }^{ 0 }{ y }^{ n }$

这个题因为n太大了，所以用java大数写

${ (n+1) }^{ k+1 }-{ n }^{ k+1 }={ C }_{ k+1 }^{ 1 }{ n }^{ k }+{ C }_{ k+1 }^{ 2 }{ n }^{ k-1 }+--+{ C }_{ k+1 }^{ k }n+1\\ n\quad =\quad \{ 1,\quad 2,\quad 3,\quad 4...\} \\ { (n+1) }^{ k+1 }-1={ C }_{ k+1 }^{ 1 }\sum _{ i=1 }^{ n }{ { i }^{ k } } +{ C }_{ k+1 }^{ 2 }\sum _{ i=1 }^{ n }{ { i }^{ k-1 } } +--+{ C }_{ k+1 }^{ k }\sum _{ i=1 }^{ n }{ i } +n\\ \sum _{ i=1 }^{ n }{ { i }^{ k } } =\frac { 1 }{ K+1 } [{ (n+1) }^{ k+1 }-({ C }_{ k+1 }^{ 2 }\sum _{ i=1 }^{ n }{ { i }^{ k-1 } } +--+{ C }_{ k+1 }^{ k }\sum _{ i=1 }^{ n }{ i } +n+1)]\\ S(n,k)=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { i }^{ k } } \\ S(n,k)=\frac { 1 }{ K+1 } [{ (n+1) }^{ k+1 }-({ C }_{ k+1 }^{ 2 }S(n,k-1)+---+{ C }_{ k+1 }^{ k }S(n,1)+n+1)]\\ S(n,1)=\frac { n(n+1) }{ 2 }$

在递归的时候记忆化一下

import java.math.*;
import java.util.*;
public class Main {public static final int N = 105;public static final BigInteger FLAG = (BigInteger.ZERO).subtract(BigInteger.ONE); // -1public static BigInteger[][] C = new BigInteger[N][N];public static BigInteger[] ans = new BigInteger[N];public static void Init(){for(int i = 0; i < N; i++){C[i][0] = C[i][i] = BigInteger.ONE;if(i == 0){continue;}for(int j = 1; j < i; j++){C[i][j] = C[i-1][j].add(C[i-1][j-1]);}}}public static BigInteger slove(BigInteger n, int k){if(ans[k].compareTo(FLAG) != 0){return ans[k];}if(k == 1){ans[k] = ((n.add(BigInteger.ONE)).multiply(n)).divide(BigInteger.valueOf(2));return ans[k];}BigInteger temp = BigInteger.ONE;for(int i = 0; i < k + 1; i++){temp = temp.multiply(n.add(BigInteger.ONE));}temp = temp.subtract(n.add(BigInteger.ONE));BigInteger sum = BigInteger.ZERO;for(int i = 1; i < k; i++){BigInteger t = C[k+1][i+1].multiply(slove(n, k - i));sum = sum.add(t);}ans[k] = (temp.subtract(sum)).divide(BigInteger.valueOf(k+1));return ans[k];}public static void main(String[] args) {Init();Scanner cin = new Scanner(System.in);while (cin.hasNext()){BigInteger n = cin.nextBigInteger();int k = cin.nextInt();for(int i = 0; i < N; i++){ans[i] = FLAG;}System.out.println(slove(n, k));}}
}

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