第八届蓝桥杯第十题 k倍区间

给定一个长度为N的数列，A1, A2, ... AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, ... Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。

你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？

输入
-----
第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)
以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)

输出
-----
输出一个整数，代表K倍区间的数目。

例如，
输入：
5 2
1
2
3
4
5

程序应该输出：
6

资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗 < 2000ms

请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。

注意：
main函数需要返回0;
只使用ANSI C/ANSI C++ 标准;
不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include <xxx>
不能通过工程设置而省略常用头文件。

提交程序时，注意选择所期望的语言类型和编译器类型。

从别处看到的思路：

求区间[l,r]的和是k的倍数的个数。求区间和，我们可以通过前缀和来求出。我们规定sum[i]表示第1个元素到第i个元素的和。那么sum[r] - sum[l-1]就是区间[l,r]的和。区间[l,r]的和是k的倍数即(sum[r] - sum[l-1])%k == 0 即sum[r]%k == sum[l-1]%k
　　那么，我们求出每个前缀和，在求的过程中取模，两个相等的前缀和就能组成一个k倍区间。我们可以在计算完前缀和以后，使用两层for循环来计数k倍区间的个数。但是由于数据量较大，这样是会超时的。那么我们是否能在计算前缀和的过程中来记录k倍区间的个数呢？
我们用一个数组cnt[i]表示当前位置之前，前缀和取模后等于i的个数。举个例子：
　　数列 1 2 3 4 5 mod = 2
　　对前1个数的和取模，为1 之前有0个前缀和取模后为1，个数+0
　　对前2个数的和取模，为1 之前有1个前缀和取模后为1，个数+1
　　对前3个数的和取模，为0 之前有0个前缀和取模后为0, 个数+0
　　对前4个数的和取模，为0 之前有1个前缀和取模后为0，个数+1
　　对钱5个数的和取模，为1 之前有2个前缀和取模后为1，个数+2
　　到目前为止ans = 4。但是ans应该等于6，因为这样计算后，我们漏掉了前i个数的和取模是k的倍数的情况，即[0,i]区间和是k的倍数，因此，我们要在ans = 4 的基础上加上前缀和取模后为0的个数即ans+2 = 6;

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define MAXN 1000
using namespace std;
/*
前缀和
*/
int sum[100001]; // sum[i] 前i个元素的和
int num[100001];
int cnt[100001];
int n,k;
LL ans = 0;
int main(){
//freopen("input.txt","r",stdin);
memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
memset(sum, 0, sizeof(sum));
scanf("%d%d",&n, &k);
for(int i = 1; i <= n; i++){
scanf("%d",&num[i]);
sum[i] = (sum[i-1] + num[i])%k;
ans += cnt[sum[i]];
cnt[sum[i]]++;
}
printf("%lld\n",ans+cnt[0]);
return 0;
}

代码如下：

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