伸展树（Splay）

Splay 是一种二叉查找树，它通过不断将某个节点旋转到根节点，使得整棵树仍然满足二叉查找树的性质，并且保持平衡而不至于退化为链。它由 Daniel Sleator 和 Robert Tarjan 发明。

旋转

旋转（Rotate）的最终目的是将该节点的深度 − 1 -1 −1并且保证二叉搜索树的结构不改变。

根据节点 x x x是父节点的左子节点或者是右子节点分为右旋和左旋转。

我们以右旋为例，我们发现，如果我们想让节点 X X X的深度 − 1 -1 −1，我们必须让 X X X做 Z Z Z的子节点，至于是左右子节点，取决于 Y Y Y的位置，因为 X X X是代替 Y Y Y的位置。那么 b b b就可以做 Y Y Y的左节点，进而 Y Y Y做 X X X的右节点。

上述过程就是节点右旋的过程，我们将 X X X的深度 − 1 -1 −1而不改变二叉搜索树的性质。

而左旋正好和右旋对称，读者可以自己尝试推导一下。

这两种情况对应的选择操作也叫做Zig。

我们可以将这两个操作结合成一个函数，让这个函数自己判断是左旋还是右旋。


void rotate(int x)
{// 获取父节点和祖父节点int y = tree[x].fa;int z = tree[y].fa;// 连接祖父节点和Xif (tree[z].l == y)tree[z].l = x;elsetree[z].r = x;tree[x].fa = z;// 连接父节点和X的子节点，连接父节点和Xif (tree[y].l == x){tree[y].l = tree[x].r;tree[tree[x].r].fa = y;tree[x].r = y;tree[y].fa = x;}else{tree[y].r = tree[x].l;tree[tree[x].l].fa = y;tree[x].l = y;tree[y].fa = x;}
}

伸展

伸展（Splay）是伸展树的核心操作，其最终目的是将节点 X X X一直向上选择直到作为节点 R R R的子节点为止或者将 X X X一直旋转到树的根节点为止。

除了完成最终目的，我们还要尽可能的降低BST的深度。

伸展分为三种操作，Zig，Zig-Zig和Zig-Zag。

如果 R R R就是 X X X的祖父节点，那么我们直接一次旋转 X X X即可达成目的，这种情况叫做Zig。
如果 X Y Z XYZ XYZ三者共线，那么我们先旋转 Y Y Y，再旋转 X X X。这种情况叫做ZIg-Zag。是双旋操作。
如果 X Y Z XYZ XYZ三者不共线，那么我们先旋转 X X X，再旋转 X X X。这种情况叫做ZIg-Zig。也是是双旋操作。

为什么要三者共线的时候要先旋转 Y Y Y再旋转 X X X，这种双旋转结构可以降低树的层数。在 H > 4 H>4 H>4的时候才能看出来效果。具体参考：

Splay的效率讨论

那我们就可以写出代码。

void splay(int x, int r)
{int y;while ((y = tree[x].fa) != r) // 如果y不是目标节点{int z = tree[y].fa; // 获取祖父节点if (z != r) // 如果z是不是目标节点{// 执行双旋转if (tree[z].l == y && tree[y].l == x || tree[z].r == y && tree[y].r == x)rotate(y);elserotate(x);rotate(x);}elserotate(x); // 直接单旋即可}if (r == 0)root = x;
}

其他操作

其他查询、插入、删除等操作和二叉搜索树完全一直，只不过在找到目标节点之后，要将该节点Splay一下。

Splay与其他二叉搜索树不同的是Splay操作，可以把任意一个节点接到其子节点上，通常用两边夹的方法筛选节点。

P3391 文艺平衡树

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