在做单目三维位姿估计(即估计目标物相对相机的姿态或相机相对目标物的姿态)时会用到solvepnp函数，

函数原型为：cv2.solvePnP(objectPoints, imagePoints, cameraMatrix, distCoeffs[, rvec[, tvec[, useExtrinsicGuess[, flags]]]]) → retval, rvec, tvec

参数解释objectPoints：世界坐标系中的3D点坐标，单位mm

imagePoints：图像坐标系中点的坐标，单位像素

cameraMatrix：相机内参矩阵

distCoeffs：畸变系数

rvec：旋转矩阵

tvec：平移矩阵

useExtrinsicGuess：是否输出平移矩阵和旋转矩阵，默认为false

flags：SOLVEPNP _ITERATIVE、SOLVEPNP _P3P、SOLVEPNP _EPNP、SOLVEPNP _DLS、SOLVEPNP _UPNP

内参矩阵和畸变系数都是要通过标定得到的，这个不细讲，opencv官方提供了有标定例子(或者参考我的这篇文章：用matlab标定获取相机内参矩阵和畸变系数)。函数输出的是旋转矩阵rvec和tvec。

本文就来说说得到了这个旋转矩阵rvec后，如何得知目标物实际的角度呢~

旋转矩阵是一个3×3的正交矩阵，有3个自由度。处理旋转矩阵的问题时，通常采用旋转矩阵的方式来描述，也可以用旋转向量来表示，两者之间可以通过罗德里格斯(Rodrigues)变换来进行转换。

旋转矩阵和旋转向量间的转换请参考：旋转矩阵 和 旋转向量

其中，旋转向量的长度(模)表示绕轴逆时针旋转的角度(弧度)。

norm为求向量的模。

代码如下：theta = np.linalg.norm(rvec)

r = rvec / theta

R_ = np.array([[0, -r[2][0], r[1][0]],

[r[2][0], 0, -r[0][0]],

[-r[1][0], r[0][0], 0]])

R = np.cos(theta) * np.eye(3) + (1 - np.cos(theta)) * r * r.T + np.sin(theta) * R_

print('旋转矩阵')

print(R)

反变换也可以很容易的通过如下公式实现：

空间中三维坐标变换一般由三种方式实现，第一种是旋转矩阵和旋转向量；第二种是欧拉角；第三种是四元数。下面介绍旋转矩阵(旋转向量)与欧拉角实现三维空间坐标变换的方法以及两者之间的关系。

旋转矩阵

对于一个三维空间的点 P(x,y,z)P(x,y,z)，要将其绕 zz 轴旋转 θθ 角度是可以很简单地用旋转矩阵来表示的

欧拉角

此处得到结论：自旋转的“先转的放前面”

定角(Fixed angles)

围绕固定的坐标系转动。固定坐标系的原点，坐标系再围绕已经固定的轴转动，全程原坐标系不动。

注意！移动位置的顺序可以调换，但是旋转的顺序不能调换，结果不一样。

以X-Y-Z型为例子：即先围绕X轴进行转动γ°，然后围绕Y轴进行转动β°，最后围绕Z轴进行转动α°。注意逆时针为正方向。

X-Y-Z型公式：

重点：先转的轴的

放后面运算，如下

代码：def isRotationMatrix(R):

Rt = np.transpose(R) #旋转矩阵R的转置

shouldBeIdentity = np.dot(Rt, R) #R的转置矩阵乘以R

I = np.identity(3, dtype=R.dtype) # 3阶单位矩阵

n = np.linalg.norm(I - shouldBeIdentity) #np.linalg.norm默认求二范数

return n < 1e-6 # 目的是判断矩阵R是否正交矩阵(旋转矩阵按道理须为正交矩阵，如此其返回值理论为0)

def rotationMatrixToAngles(R):

assert (isRotationMatrix(R)) #判断是否是旋转矩阵(用到正交矩阵特性)

sy = math.sqrt(R[0, 0] * R[0, 0] + R[1, 0] * R[1, 0]) #矩阵元素下标都从0开始(对应公式中是sqrt(r11*r11+r21*r21))，sy=sqrt(cosβ*cosβ)

singular = sy < 1e-6 # 判断β是否为正负90°

if not singular: #β不是正负90°

x = math.atan2(R[2, 1], R[2, 2])

y = math.atan2(-R[2, 0], sy)

z = math.atan2(R[1, 0], R[0, 0])

else: #β是正负90°

x = math.atan2(-R[1, 2], R[1, 1])

y = math.atan2(-R[2, 0], sy) #当z=0时，此公式也OK，上面图片中的公式也是OK的

z = 0

return np.array([x, y, z])

举例：

由角度推旋转矩阵

由旋转矩阵推角度

欧拉角(Euler angles)

“自旋转”，围绕当下(自己)的坐标系某轴转动，就是每次旋转，都固定被围绕的某一轴，另两轴动。

每次旋转，整个坐标系都会改变位置。

以Z-Y-Z型为例的公式：

重点：先转的轴的

放前面运算，如下

举例：

矩阵转角度:

注意：自旋转的“先转的放前面”

欧拉角转旋转矩阵

欧拉角通过将刚体绕过原点的轴(i,j,k)旋转θ，分解成三步，如下图(蓝色是起始坐标系，而红色的是旋转之后的坐标系)

如果将每一个角度用旋转矩阵表示如下：

所以，容易得到，欧拉角转旋转矩阵如下：

代码：/**

欧拉角计算对应的旋转矩阵

**/

Mat eulerAnglesToRotationMatrix(Vec3f &theta)

{

// 计算旋转矩阵的X分量

Mat R_x = (Mat_(3,3) <<

1,       0,              0,

0,       cos(theta[0]),   -sin(theta[0]),

0,       sin(theta[0]),   cos(theta[0])

);

// 计算旋转矩阵的Y分量

Mat R_y = (Mat_(3,3) <<

cos(theta[1]),    0,      sin(theta[1]),

0,               1,      0,

-sin(theta[1]),   0,      cos(theta[1])

);

// 计算旋转矩阵的Z分量

Mat R_z = (Mat_(3,3) <<

cos(theta[2]),    -sin(theta[2]),      0,

sin(theta[2]),    cos(theta[2]),       0,

0,               0,                  1);

// 合并

Mat R = R_z * R_y * R_x;

return R;

}

旋转矩阵转欧拉角

将旋转矩阵表示如下：

则可以如下表示欧拉角：

代码：/**

* 功能： 1. 检查是否是旋转矩阵

**/

bool isRotationMatrix(Mat &R)

{

Mat Rt;

transpose(R, Rt);

Mat shouldBeIdentity = Rt * R;

Mat I = Mat::eye(3,3, shouldBeIdentity.type());

return norm(I, shouldBeIdentity) < 1e-6;

}

/**

* 功能： 1. 通过给定的旋转矩阵计算对应的欧拉角

**/

Vec3f rotationMatrixToEulerAngles(Mat &R)

{

assert(isRotationMatrix(R));

float sy = sqrt(R.at(0,0) * R.at(0,0) + R.at(1,0) * R.at(1,0) );

bool singular = sy < 1e-6; // If

float x, y, z;

if (!singular) {

x = atan2(R.at(2,1) , R.at(2,2));

y = atan2(-R.at(2,0), sy);

z = atan2(R.at(1,0), R.at(0,0));

} else {

x = atan2(-R.at(1,2), R.at(1,1));

y = atan2(-R.at(2,0), sy);

z = 0;

}

return Vec3f(x, y, z);

}

旋转向量转欧拉角(经过四元数)代码如下：# 从旋转向量转换为欧拉角

def get_euler_angle(rotation_vector):

# calculate rotation angles

theta = cv2.norm(rotation_vector, cv2.NORM_L2)

# transformed to quaterniond

w = math.cos(theta / 2)

x = math.sin(theta / 2)*rotation_vector[0][0] / theta

y = math.sin(theta / 2)*rotation_vector[1][0] / theta

z = math.sin(theta / 2)*rotation_vector[2][0] / theta

ysqr = y * y

# pitch (x-axis rotation)

t0 = 2.0 * (w * x + y * z)

t1 = 1.0 - 2.0 * (x * x + ysqr)

print('t0:{}, t1:{}'.format(t0, t1))

pitch = math.atan2(t0, t1)

# yaw (y-axis rotation)

t2 = 2.0 * (w * y - z * x)

if t2 > 1.0:

t2 = 1.0

if t2 < -1.0:

t2 = -1.0

yaw = math.asin(t2)

# roll (z-axis rotation)

t3 = 2.0 * (w * z + x * y)

t4 = 1.0 - 2.0 * (ysqr + z * z)

roll = math.atan2(t3, t4)

print('pitch:{}, yaw:{}, roll:{}'.format(pitch, yaw, roll))

# 单位转换：将弧度转换为度

Y = int((pitch/math.pi)*180)

X = int((yaw/math.pi)*180)

Z = int((roll/math.pi)*180)

return 0, Y, X, Z

在3D 空间中，表示物体的旋转可以由三个欧拉角来表示：

pitch围绕X轴旋转，叫俯仰角。

yaw围绕Y轴旋转，叫偏航角。

roll围绕Z轴旋转，叫翻滚角。

这三个角的顺序对旋转结果有影响。

(欧拉角与四元数的转换关系：

http://www.cnblogs.com/wqj1212/archive/2010/11/21/1883033.html)

四元数到欧拉角的转换公式如下：

arctan和arcsin的结果为[-pi/2,pi/2]，不能覆盖所有的欧拉角，因此采用atan2代替arctan：