特殊矩阵——对称矩阵(Symmetric Matrix)
2024-05-06 14:34:53
特殊矩阵——对称矩阵(Symmetric Matrix)
注：压缩存储的矩阵可以分为特殊矩阵和稀疏矩阵。对于那些具有相同元素或零元素在矩阵中分布具有一定规律的矩阵，被称之为特殊矩阵。对于那些零元素数据远远多于非零元素数目，并且非零元素的分布没有规律的矩阵称之为稀疏矩阵。
1. 对称矩阵的概念
- 元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。
2. 对称矩阵的特性
- 对角矩阵都是对称矩阵，对称矩阵必须是方形矩阵。
- 设一个n*n的方阵A，对于矩阵A中的任一元素aija_{ij}，当且仅当aija_{ij}=ajia_{ji}时(0≤i≤n-1，0≤j≤n-1)时，矩阵A为对称矩阵。
3. 对称矩阵的压缩存储
- 可以利用对称矩阵的上述特性，只存储对角线及对角线以下的元素，或者只存储对角线及对角线以上的元素，前者称之为下三角阵，后者称之为上三角阵。
- 对一个n*n的对称方阵A，元素总数有n2n^2个，而上三角阵或下三角阵的元素共有n+(n-1)+(n-2)+……+2+1=n*(n+1)/2个元素。因此，存储对称方阵时最多只需存储n*(n+1)/2个元素。
- 利用对称矩阵的对称性，可以用一维数组B存储对称矩阵A(这主要要区分四种存储方式：行优先方式存储下三角阵、行优先方式存储上三角阵、列优先方式存储下三角阵和列优先方式存储上三角阵)。
(1)行优先方式存储下三角阵
(2)行优先方式存储上三角阵
(3)列优先方式存储下三角阵
(4)列优先方式存储上三角阵
4. 特殊矩阵的实现
文件：SymmetricMatrix.h
#include <iostream>using namespace std;//压缩存储后，存储对称方阵时最多只需存储n*(n+1)/2个元素#define GetTotalLen(n) n * (n + 1) / 2 //按行优先方式存放下三角阵时，矩阵元素下标对应的一维数组的下标#define GetIndexRowLower(i, j) ((i + 1) * i) / 2 + j //按行优先方式存放上三角阵时，矩阵元素下标对应的一维数组的下标 //n * i + j - ((i + 1) * i) / 2 =>((2 * n - i - 1) * i) / 2 + j#define GetIndexRowUpper(n, i, j) ((2 * n - i - 1) * i) / 2 + j //按列优先方式存放下三角阵时，矩阵元素下标对应的一维数组的下标 //n * j + i - ((j + 1) * j) / 2 =>((2 * n - j - 1) * j) / 2 + i #define GetIndexColLower(n, i, j) ((2 * n - j - 1) * j) / 2 + i //按列优先方式存放上三角阵时，矩阵元素下标对应的一维数组的下标#define GetIndexColUpper(i, j) ((j + 1) * j) / 2 + i class SymmetricMatrix { public:SymmetricMatrix(int order);~SymmetricMatrix();public:void create(); //创建矩阵void destroy(); //销毁矩阵void transpos(); //矩阵转置int get_order(); //获取矩阵阶数int* compressed_storage_row_lower(); //压缩存储特殊矩阵——对称矩阵，按行优先方式存放下三角阵int* compressed_storage_row_upper(); //压缩存储特殊矩阵——对称矩阵，按行优先方式存放上三角阵int* compressed_storage_col_lower(); //压缩存储特殊矩阵——对称矩阵，按列优先方式存放下三角阵int* compressed_storage_col_upper(); //压缩存储特殊矩阵——对称矩阵，按列优先方式存放上三角阵bool is_symmetric(); //判断矩阵是否为对称矩阵public:friend ostream& operator<<(ostream& os, SymmetricMatrix& m); //输出矩阵private:int _order;int **_matrix; };文件：SymmetricMatrix.cpp
#include "SymmetricMatrix.h"SymmetricMatrix::SymmetricMatrix(int order) : _order(order), _matrix(new int*[order]) {create(); }SymmetricMatrix::~SymmetricMatrix() {destroy(); }void SymmetricMatrix::create() {for (int i = 0; i < _order; i++){_matrix[i] = new int[_order];for (int j = 0; j < _order; j++){_matrix[i][j] = i + j;}} }void SymmetricMatrix::destroy() {for (int i = 0; i < _order; i++){delete[] _matrix[i];}delete[] _matrix;_matrix = NULL; }void SymmetricMatrix::transpos() {int temp = 0;for (int i = 0; i < _order; i++){for (int j = 0; j < _order; j++){temp = _matrix[i][j];_matrix[i][j] = _matrix[j][i];_matrix[j][i] = temp;}} }int SymmetricMatrix::get_order() {return _order; }int* SymmetricMatrix::compressed_storage_row_lower() {int index = 0;int total_count = GetTotalLen(_order);int *a = new int[total_count];for (int i = 0; i < _order; i++){for (int j = 0; j <= i; j++){index = GetIndexRowLower(i, j);a[index] = _matrix[i][j];} }return a; }int* SymmetricMatrix::compressed_storage_row_upper() {int index = 0;int total_count = GetTotalLen(_order);int *a = new int[total_count];for (int i = 0; i < _order; i++){for (int j = i; j < _order; j++){index = GetIndexRowUpper(_order, i, j);a[index] = _matrix[i][j];} }return a; }int* SymmetricMatrix::compressed_storage_col_lower() {int index = 0;int total_count = GetTotalLen(_order);int *a = new int[total_count];for (int j = 0; j < _order; j++){for (int i = j; i < _order; i++){index = GetIndexColLower(_order, i, j);a[index] = _matrix[i][j];}}return a; }int* SymmetricMatrix::compressed_storage_col_upper() {int index = 0;int total_count = GetTotalLen(_order);int *a = new int[total_count];for (int j = 0; j < _order; j++){for (int i = 0; i <= j; i++){index = GetIndexColUpper(i, j);a[index] = _matrix[i][j];}}return a; }bool SymmetricMatrix::is_symmetric() {for (int i = 0; i < _order; i++){for (int j = 0; j < _order; j++){if (_matrix[i][j] != _matrix[j][i]){return false;}}}return true; }ostream& operator<<(ostream& os, SymmetricMatrix& m) {for (int i = 0; i < m._order; i++){for (int j = 0; j < m._order; j++){os << m._matrix[i][j] << " ";}os << endl;}return os; }文件：main.cpp
#include "SymmetricMatrix.h"int main() {int n = 0;cout << "请输入对称矩阵的阶数，n = ";cin >> n;SymmetricMatrix matrix(n);if (true == matrix.is_symmetric()){cout << "$ 输出对称矩阵：" << endl;cout << matrix;//或operator<<(cout, matrix);}matrix.transpos();if (true == matrix.is_symmetric()){cout << "$ 输出转置后的对称矩阵：" << endl;cout << matrix;//或operator<<(cout, matrix);}cout << "\n$ 输出压缩存储后的一维数组(按行优先方式存放下三角阵)：" << endl;int *arrayrl = matrix.compressed_storage_row_lower();for (int i = 0; i < GetTotalLen(matrix.get_order()); i++){cout << arrayrl[i] << " ";}cout << endl;delete[] arrayrl;cout << "\n$ 输出压缩存储后的一维数组(按行优先方式存放上三角阵)：" << endl;int *arrayru = matrix.compressed_storage_row_upper();for (int i = 0; i < GetTotalLen(matrix.get_order()); i++){cout << arrayru[i] << " ";}cout << endl;delete[] arrayru;cout << "\n$ 输出压缩存储后的一维数组(按列优先方式存放下三角阵)：" << endl;int *arraycl = matrix.compressed_storage_col_lower();for (int i = 0; i < GetTotalLen(matrix.get_order()); i++){cout << arraycl[i] << " ";}cout << endl;delete[] arraycl;cout << "\n$ 输出压缩存储后的一维数组(按列优先方式存放上三角阵)：" << endl;int *arraycu = matrix.compressed_storage_col_upper();for (int i = 0; i < GetTotalLen(matrix.get_order()); i++){cout << arraycu[i] << " ";}cout << endl;delete[] arraycu;system("pause");return 0; }
参考文献：
[1]《数据结构(用面向对象方法与C++语言描述)(第2版)》殷人昆——第四章
[2] 百度搜索关键字：对称矩阵
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