　　拉普拉斯矩阵(Laplacian matrix) 也叫做导纳矩阵、基尔霍夫矩阵或离散拉普拉斯算子，是图论中用于表示图的一种重要矩阵。

定义

　　给定一个具有 n n n个顶点的简单图 G = ( V , E ) G=(V, E) G=(V,E)， V V V为顶点集合， E E E为边集合，其拉普拉斯矩阵可定义为：
L = D − A L=D-A L=D−A其中 A ∈ R n × n A \in \mathbb{R}^{n \times n} A∈Rn×n为邻接矩阵(adjacency matrix)， D ∈ R n × n D \in \mathbb{R}^{n \times n} D∈Rn×n为度矩阵(degree matrix)。
　　注意， A A A中的元素仅仅可能是 0 和 1，且其对角元素全为 0。 D D D是一个对角矩阵，其对角线上的元素计算方式为 D i i = ∑ j A i j D_{i i}=\sum_{j} A_{i j} Dii=∑jAij。
　　进一步地， L L L的每个元素值的具体计算方式如下所示：
L i j = { D i i if i = j − 1 if i ≠ j and v i is adjacent to v j 0 otherwise L_{ij}=\left\{\begin{array}{ll}{D_{ii}} & {\text { if } i=j} \\ {-1} & {\text { if } i \neq j \text { and } v_{i} \text { is adjacent to } v_{j}} \\ {0} & {\text { otherwise }}\end{array}\right. Lij=⎩⎨⎧Dii−10 if i=j if i=j and vi is adjacent to vj otherwise

示例

　　给定一个简单的图 G = ( V , E ) G=(V, E) G=(V,E)，其示意图如下所示（例子来自wiki百科）：

根据该示意图，可以获得 G G G对应的邻接矩阵 A A A，如下所示：
A = ( 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 ) A=\left(\begin{array}{llllll}{0} & {1} & {0} & {0} & {1} & {0} \\ {1} & {0} & {1} & {0} & {1} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} & {1} & {1} \\ {1} & {1} & {0} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1} & {0} & {0}\end{array}\right) A=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛010010101010010100001011110100000100⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
根据度矩阵的计算方式，可以获得 G G G对应的度矩阵 D D D，如下所示：
D = ( 2 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 1 ) D=\left(\begin{array}{llllll}{2} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {3} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {2} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {3} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {3} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {1}\end{array}\right) D=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛200000030000002000000300000030000001⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
根据拉普拉斯矩阵的定义 L = D − A L=D-A L=D−A，可以获得 G G G对应的拉普拉斯矩阵 L L L，如下所示：
L = ( 2 − 1 0 0 − 1 0 − 1 3 − 1 0 − 1 0 0 − 1 2 − 1 0 0 0 0 − 1 3 − 1 − 1 − 1 − 1 0 − 1 3 0 0 0 0 − 1 0 1 ) L=\left(\begin{array}{rrrrrr}{2} & {-1} & {0} & {0} & {-1} & {0} \\ {-1} & {3} & {-1} & {0} & {-1} & {0} \\ {0} & {-1} & {2} & {-1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {-1} & {3} & {-1} & {-1} \\ {-1} & {-1} & {0} & {-1} & {3} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {-1} & {0} & {1}\end{array}\right) L=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛2−100−10−13−10−100−12−10000−13−1−1−1−10−130000−101⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞显然，拉普拉斯矩阵都是对称的。

性质

拉普拉斯矩阵是半正定矩阵；
特征值中0出现的次数就是图连通区域的个数；
最小特征值是0，因为拉普拉斯矩阵每一行的和均为0；
最小非零特征值是图的代数连通度。

变体

　　除了最普通的拉普拉斯矩阵形式 L = D − A L=D-A L=D−A外，还具有多种常见的形式，如Symmetric normalized Laplacian和Random walk normalized Laplacian。
　　Symmetric normalized Laplacian的定义如下：
L s n = D − 1 2 L D − 1 2 = I − D − 1 2 A D − 1 2 L^{sn}=D^{-\frac{1}{2}} L D^{-\frac{1}{2}}=I-D^{-\frac{1}{2}} A D^{-\frac{1}{2}} Lsn=D−21LD−21=I−D−21AD−21 L i j s n = { 1 if i = j and D i i ≠ 0 − 1 D i i D j j if i ≠ j and v i is adjacent to v j 0 otherwise L_{ij}^{sn}=\left\{\begin{array}{ll}{1} & {\text { if } i=j \text { and } D_{ii} \neq 0} \\ {-\frac{1}{\sqrt{D_{ii} D_{jj}}}} & {\text { if } i \neq j \text { and } v_{i} \text { is adjacent to } v_{j}} \\ {0} & {\text { otherwise }}\end{array}\right. Lijsn=⎩⎪⎨⎪⎧1−DiiDjj 10 if i=j and Dii=0 if i=j and vi is adjacent to vj otherwise
　　Random walk normalized Laplacian的定义如下：
L r w = D − 1 L = I − D − 1 A L^{r w}=D^{-1} L=I-D^{-1} A Lrw=D−1L=I−D−1A L i j r w = { 1 if i = j and D i i ≠ 0 − 1 D i i if i ≠ j and v i is adjacent to v j 0 otherwise L_{ij}^{rw}=\left\{\begin{array}{ll}{1} & {\text { if } i=j \text { and }D_{ii} \neq 0} \\ {-\frac{1}{D_{ii}}} & {\text { if } i \neq j \text { and } v_{i} \text { is adjacent to } v_{j}} \\ {0} & {\text { otherwise }}\end{array}\right. Lijrw=⎩⎨⎧1−Dii10 if i=j and Dii=0 if i=j and vi is adjacent to vj otherwise

本文参考资料

图拉普拉斯–百度百科
拉普拉斯矩阵–简书
拉普拉斯矩阵（Laplacian matrix）–简书

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拉普拉斯矩阵（Laplacian matrix）及其变体详解

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