POJ 1637 混合图的欧拉回路 + Dinic

题意

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题解

有向图存在欧拉回路的充要条件： 所有顶点入度等于出度，且图为连通图。

混合图存在欧拉回路的判断的基本思路： 混合图 G(V,E)G(V,E)G(V,E) 通过假设无向边方向使之变成有向图 G′(V,E′)G'(V,E')G′(V,E′)，若存在一个 G′(V,E′)G'(V,E')G′(V,E′) 使之存在欧拉回路，则 G(V,E)G(V,E)G(V,E) 存在欧拉回路。

混合图存在欧拉回路的问题，则转化为找到一个无向边的定向方案，使混合图的所有顶点入度等于出度。基本思路是线假设一个有向图 G′(V,E′)G'(V,E')G′(V,E′)，再不断调整无向边的方向，使其满足所有顶点入度等于出度。

使用最大流模型求解： 首先为每一条无向边假设一个方向，并计算顶点的出度 outDegoutDegoutDeg 与入度 inDeginDeginDeg；取源点 sss 与汇点 ttt，对于出度大于入度的点 vvv，从 sss 向 vvv 连一条容量为 (outDeg−inDeg)/2(outDeg-inDeg)/2(outDeg−inDeg)/2 的边，对于入度大于出度的点 uuu，从 uuu 向 ttt 连一条容量为 (inDeg−outDeg)/2(inDeg-outDeg)/2(inDeg−outDeg)/2 的边，计算容量 /2/2/2 这一步是因为若某条无向边调整为当前假设方向的反方向，对于其端点而言，abs(Δ(outDeg−inDeg))=2abs(\Delta (outDeg-inDeg))=2abs(Δ(outDeg−inDeg))=2；对于混合图中所有无向边，按照假定的方向建有向图，有向边因为方向无法调整故不在图中建边。

若最大流满流，将 sss 至 ttt 的流量反向，此时满足所有顶点入度等于出度，存在一个 G′(V,E′)G'(V,E')G′(V,E′) 使之存在欧拉回路，则混合图存在欧拉回路。

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;
#define min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAX_V 205
typedef int capType;
struct edge
{int to, rev;capType cap;edge(int to, int rev, capType cap) : to(to), rev(rev), cap(cap) {}
};
int V;
vector<edge> G[MAX_V];
int level[MAX_V], iter[MAX_V];void add_edge(int from, int to, capType cap)
{G[from].push_back(edge(to, G[to].size(), cap));G[to].push_back(edge(from, G[from].size() - 1, 0));
}void bfs(int s)
{memset(level, -1, sizeof(level));queue<int> que;level[s] = 0;que.push(s);while (!que.empty()){int v = que.front();que.pop();for (int i = 0; i < G[v].size(); i++){edge &e = G[v][i];if (e.cap > 0 && level[e.to] < 0){level[e.to] = level[v] + 1;que.push(e.to);}}}
}capType dfs(int v, int t, capType f)
{if (v == t)return f;for (int &i = iter[v]; i < G[v].size(); i++){edge &e = G[v][i];if (e.cap > 0 && level[v] < level[e.to]){capType d = dfs(e.to, t, min(f, e.cap));if (d > 0){e.cap -= d;G[e.to][e.rev].cap += d;return d;}}}return 0;
}capType max_flow(int s, int t)
{capType flow = 0;for (;;){bfs(s);if (level[t] < 0)return flow;memset(iter, 0, sizeof(iter));capType f;while ((f = dfs(s, t, INF)) > 0){flow += f;}}
}void clear_graph()
{for (int v = 0; v < V; v++) G[v].clear();
}#define maxm 205
#define maxs 1005
int M, S, deg[maxm], x[maxs], y[maxs], d[maxs];void solve()
{int f = 0, s = 0, t = M + 1;V = t + 1;clear_graph();for (int i = 1; i <= M; i++){if (abs(deg[i]) & 1){puts("impossible");return;}if (deg[i] > 0){add_edge(s, i, deg[i] / 2);f += deg[i] / 2;}if (deg[i] < 0){add_edge(i, t, -deg[i] / 2);}}for (int i = 0; i < S; i++){if (d[i] == 1) continue;add_edge(x[i], y[i], 1);}puts(max_flow(s, t) == f ? "possible" : "impossible");
}int main()
{int t;scanf("%d", &t);while (t--){memset(deg, 0, sizeof(deg));scanf("%d%d", &M, &S);for (int i = 0; i < S; i++){scanf("%d%d%d", x + i, y + i, d + i);deg[x[i]]++, deg[y[i]]--;}solve();}return 0;
}

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