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题意

n个结点组成一个圈(n≥3)，求匹配(即没有公共点的边集)的个数。例如， n=4时有7个(如下图所示)，n=100时有792070839848372253127个。

题解

最终转化成了斐波那契数列。

记函数f(n)为所求，可以用n位二进制表示边集的状态，00...0表示空边集(没有边)，100...0表示只有1条边。

考虑首条边在不在集合，只有两种形式:0xx...x、10xx...x0，记第一种形式的数量为a(n)，第二种形式的数量为b(n)，则 f(n) = a(n) + b(n)。

考虑第二种形式10xx...x0，总是可以在末尾添加一个1，变成10xx...x01，计数不变，但是位数从n变成了n+1，记为g(n+1) = b(n)。

同时，第二种形式去掉首位的1和末尾的0，就是0xx...x，变成了第一种形式，但是位数从n变成了n-2，则 b(n) = a(n-2)。

考虑第一种形式，首条边没用上，所以a(n)完全包含f(n-1)，还有010xx...x01的形式没统计到，这正好是g(n-1)，因此a(n) = f(n-1) + g(n-1)。

综上，f(n) = a(n) + b(n)

= [f(n-1) + g(n-1)] + a(n-2)

= [f(n-1) + b(n-2)] + a(n-2)

= f(n-1) + f(n-2)

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