有限群元素的阶必然存在

前言：仅个人小记。即证明有限群中的元素必然可以通过自乘达到幺元。

证明

对于有限群 G， ∀a∈G\forall a\in G∀a∈G，元素 a 的阶都存在。元素自乘序列如下；a,a2,a3,...a,a^2,a^3,...a,a2,a3,...
因为 G 是一个群，所以根据封闭性必然有 ai∈Ga^i \in Gai∈G又因为群 G 是有限的，所以必然有ai=aj,i<ja^i=a^j,i<jai=aj,i<j进而ai=aj−iaia^i=a^{j-i}a^iai=aj−iai又因为 G 是群，所以群中元素都可逆，进而有ai(ai)−1=aj−iai(ai)−1a^i(a^i)^{-1}=a^{j-i}a^i(a^i)^{-1}ai(ai)−1=aj−iai(ai)−1进而e=aj−ie=a^{j-i}e=aj−i这一结果说明了有限群 G 中的任意元素都可以通过自乘达到幺元 e，进而很容易知道任意元素 a 的阶都是存在的。证毕！

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